Đề thi cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới – Đề 2 (có đáp án)

Các kết quả có thể xảy ra khi chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp trên là $2;4;6;8;10;12;14;16;$$18;20$.

Do đó, có 10 kết quả có thể xả ra.

Nhận thấy tập hợp $\left\{2;4;6;8;10;12;14;16;18;20\right\}$ không có số nào là bội của 11 nên biến cố “Số được chọn là bội của 11” là biến cố không thể.

Nhận thấy các số trong tập hợp đều được biểu diễn dưới dạng $2k\left(k\in \mathbb{N},0<k<11\right)$.

Do đó, xác suất của biến cố “Số được chọn có dạng $2k\left(k\in \mathbb{N},0<k<11\right)$” là 1.

Kết quả thuận lợi cho biến cố “Số được chọn là ước của 32” là: $2;4;8;12;16$.

Do đó, có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố trên.

Suy ra, xác suất của biến cố “Số được chọn là ước của 32” là: $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$

Xét $\Delta ACE$ và $\Delta AEK$, ta có:

$\widehat{ACE}=\widehat{AKE}=90^{\circ }$ (gt)

$CA=AK$ (gt)

$AE$ chung (gt)

Do đó, $\Delta ACE=\Delta AKE$ (ch – cgv)

Do $\Delta ACE=\Delta AKE$ (ch – cgv) nên $\widehat{CAE}=\widehat{KAE}$ (hai góc tương ứng).

Do đó, $AE$ là phân giác của $\widehat{CAB}$.

Do $\Delta ACE=\Delta AKE$ (ch – cgv) nên $CE=EK$ (hai cạnh tương ứng).

Mà xét tam giác $\Delta KEB$ vuông tại $K$ nên $BE>EK$.

Mà $EK=EC$ nên $EB>CE$.

Ta có $\widehat{ABC}=180^{\circ }-\left(\hat{A}+\hat{C}\right)=180^{\circ }-\left(90^{\circ }+60^{\circ }\right)=30^{\circ }$.

Lại có $AE$ là phân giác của $\widehat{CAB}$ nên $\widehat{EAK}=\frac{1}{2}\widehat{CAB}=30^{\circ }$.

Suy ra $\widehat{EAK}=\widehat{CBA}=30^{\circ }$.

Do đó, tam giác $AEB$ cân tại $E$.

Có $EK\perp AB$ nên $EK$ là đường cao, đường trung trực trong tam giác $EKB.$

Do đó, $K$ là trung điểm của $AB$

Suy ra $AK=\frac{1}{2}AB$ hay $AB=2AK$.

Mà $AK=AC$ nên $AB=2AC$.

Gọi cố cán bộ y tế ở đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là $x,y,z$ (người) với $x,y,z\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vì cả ba đội y tế có tất cả 37 cán bộ y tế nên $x+y+z=37$.

Ta có: $x$ tiêm xong trong 5 ngày, $y$ tiêm xong trong 4 ngày, $z$ tiêm xong trong 6 ngày.

Vì số cán bộ y tế và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: $5x=4y=6z$ hay $\frac{x}{12}=\frac{y}{15}=\frac{z}{10}.$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{12}=\frac{y}{15}=\frac{z}{10}=\frac{x+y+z}{12+15+10}=\frac{37}{37}=1$.

Do đó, ta có: $\frac{x}{12}=1$ nên $x=12,$ $\frac{y}{15}=1$ nên $y=15$; $\frac{z}{10}=1$ nên $z=10$.

Vậy số cán bộ y tế ở đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 12, 15, 10 người.

Xét tam giác $ABH$ có $AH\perp BD$ tại $H$ và $HD=HB.$

Do đó, $AH$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.

Do đó $\Delta ABH$ cân tại $A.$

Suy ra $AB=AD.$

Xét $\Delta ACF$ có $CH\perp AF$ tại $H$, $AE\perp FC$ tại $E$.

Mà $AE$ cắt $CH$ tại $D$ nên $D$ là trực tâm của tam giác $AFC$.

Do đó, $FD\perp AC$.

Gọi $FD$ cắt $AC$ tại $K$.

Ta có: $\widehat{AFK}=\widehat{FKA}-\widehat{KAF}=90^{\circ }-\widehat{KAF}$ (1)

            $\widehat{BAH}=\widehat{BAC}-\widehat{HAC}=90^{\circ }-\widehat{HAC}=90^{\circ }-\widehat{KAF}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AFK}=\widehat{BAH}$.

Xét $\Delta HAB$ và $\Delta HFD$, có:

$\widehat{AFK}=\widehat{BAH}$ (cmt)

$BH=HD$ (gt)

$\widehat{BHA}=\widehat{FHD}=90^{\circ }$ (gt)

Do đó, $\Delta HAB=\Delta HFD$ (cgv – gn)

Suy ra $AH=HF$ hay $H$ là trung điểm của $AF.$

Ta có: $HE\parallel AC$ nên $\widehat{EHD}=\hat{C}$ (so le trong)

Ta chứng minh được $\Delta HAC=\Delta HFC$ (2cgv) nên $\widehat{HAC}=\widehat{HFC}$ (hai góc tương ứng)

Tam giác $EAF$ vuông tại $E$ có $H$ là trung điểm của $AF.$

Do đó, $HE=AE=HF$.

Suy ra tam giác $HEF$cân tại $H$.

Suy ra $\widehat{HEF}=\widehat{HFE}=\widehat{HAC}=\widehat{AHC}-\widehat{HCA}=90-\hat{C}$.

Ta có: $\widehat{FHE}=\frac{180^{\circ }-\widehat{HEF}}{2}=\frac{180^{\circ }-90^{\circ }+\hat{C}}{2}=\frac{90^{\circ }+\hat{C}}{2}$

Lại có $\widehat{FHE}+\widehat{EHD}=90^{\circ }$ hay $\frac{90^{\circ }+\hat{C}}{2}+\hat{C}=90^{\circ }$.

Do đó, $90^{\circ }+3\hat{C}=180^{\circ }$ nên $\hat{C}=30^{\circ }$.

Số trang được đánh số là các số chia hết cho 3 là: $\left(315-3\right):3+1=105$ (số)

Do đó, xác suất của biến cố “trang sách bạn An mở được là một số chia hết cho 3” là: $\frac{105}{315}=\frac{1}{3}$.