Đề thi cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo (Tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

5 câu · Đề cuối kì 2

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

1.1. Tìm $x,$ biết:

a) $\frac{x}{3} = \frac{- 10}{6};$ b) $\frac{2 - x}{4} = \frac{x - 3}{- 5}$ .

1.2. Ba đội y tế tiêm ngừa vaccine Covid – 19 tại ba trường THCS trong quận có cùng số lượng học sinh đăng kí tiêm chủng như nhau. Đội thứ nhất tiêm xong trong 5 ngày, đội thứ hai tiêm xong trong 4 ngày và đội thứ ba tiêm xong trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu cán bộ y tế, biết cả ba đội có tất cả 37 cán bộ? (Năng suất làm việc của các cán bộ y tế là như nhau)

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1.1.

a) $\frac{x}{3} = \frac{- 10}{6}$

$6 x = - 10.3$

$6 x = - 30$

$x = - 30 : 6$

$x = - 5$

Vậy $x = - 5$ .

b) $\frac{2 - x}{4} = \frac{x - 3}{- 5}$

$- 5 (2 - x) = 4 (x - 3)$

$- 10 + 5 x = 4 x - 12$

$x = - 12 + 10$

$x = - 2$

Vậy $x = - 2$ .

1.2. Gọi số cán bộ y tế ở đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là $x, y, z$ (người) với $x, y, z \in N^{*} .$

Vì cả ba đội y tế có tất cả 37 cán bộ y tế nên $x + y + z = 37$ .

Ta có: $x$ tiêm xong trong 5 ngày, $y$ tiêm xong trong 4 ngày, $z$ tiêm xong trong 6 ngày.

Vì số cán bộ y tế và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: $5 x = 4 y = 6 z$ hay $\frac{x}{12} = \frac{y}{15} = \frac{z}{10} .$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{12} = \frac{y}{15} = \frac{z}{10} = \frac{x + y + z}{12 + 15 + 10} = \frac{37}{37} = 1$ .

Do đó, ta có: $\frac{x}{12} = 1$ nên $x = 12,$ $\frac{y}{15} = 1$ nên $y = 15$ ; $\frac{z}{10} = 1$ nên $z = 10$ .

Vậy số cán bộ y tế ở đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 12, 15, 10 người.

Câu 2

Câu tự luận

2.1. Tính giá trị của biểu thức $H = x y - x z + y z$ tại $x = - 1; y = 1; z = - 1$ .

2.2. Cho đa thức $A (x) = \frac{1}{4} x^{3} + \frac{11}{3} x^{2} - 6 x - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{7}{4} x^{3} + 2 x + 3$ ;

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức $A (x)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Xác định bậc và hệ số cao nhất của đa thức $A (x)$ .

c) Tìm $n$ biết $2^{n} = A (- 1)$ .

d) Cho $B (x) = (x^{2} - x + 1) (2 x + 3)$ .

Tính $C (x) = A (x) - B (x)$ . Tìm nghiệm của đa thức $C (x)$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

2.1. Thay $x = - 1; y = 1; z = - 1$ vào biểu thức $H = x y - x z + y z$ , ta được:

$H = (- 1) .1 - (- 1) . (- 1) + 1. (- 1) = - 1 - 1 - 1 = - 3$ .

Vậy giá trị của biểu thức $H = - 3$ .

2.2. a) $A (x) = \frac{1}{4} x^{3} + \frac{11}{3} x^{2} - 6 x - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{7}{4} x^{3} + 2 x + 3$

$= (\frac{1}{4} + \frac{7}{4}) x^{3} + (\frac{11}{3} - \frac{2}{3}) x^{2} + (- 6 + 2) x + 3$

$= 2 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 3$ .

b) Đa thức $A (x)$ có bậc là 3 và hệ số cao nhất là $2$ .

c) Ta có $A (- 1) = 2. (- 1)^{3} + 3. (- 1)^{2} - 4. (- 1) + 3 = 8$ .

Theo bài, $2^{n} = A (- 1)$ nên $2^{n} = 8 = 2^{3}$

Suy ra $n = 3$ .

Vậy $n = 3$ .

d) $B (x) = (x^{2} - x + 1) (2 x + 3)$

$= 2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x^{2} - 3 x + 2 x + 3$

$= 2 x^{3} + x^{2} - x + 3$

Ta có $C (x) = A (x) - B (x)$

$= 2 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 3 - (2 x^{3} + x^{2} - x + 3)$

$= 2 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 3 - 2 x^{3} - x^{2} + x - 3$

$= 2 x^{2} - 3 x$ .

Để tìm nghiệm của đa thức $C (x)$ , ta cho $C (x) = 0$

Do đó $2 x^{2} - 3 x = 0$ hay $x (2 x - 3) = 0$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = \frac{3}{2}$ .

Vậy nghiệm của đa thức $C (x)$ là $x \in {0; \frac{3}{2}}$ .

Câu 3

Câu tự luận

Trong hộp gỗ gồm 6 thẻ gỗ cùng loại, được đánh số $12; 13; 14; 15; 16; 17$ rút ngẫu nhiên một thẻ.

a) Viết tập hợp $A$ gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra.

b) Tính xác suất của biến cố $B$ : “Thẻ rút được là ước của 24”.

c) Tính xác suất của biến cố $C$ : “Thẻ rút được chia 3 dư 2”.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Tập hợp gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra là:

$A = {12; 13; 14; 15; 16; 17}$ .

Do đó, có 6 kết quả có thể xảy ra.

b) Kết quả thuận lợi cho biến cố $B$ là $12$ . Do đó có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Xác suất của biến cố $B$ là $\frac{1}{6}$ .

c) Kết quả thuận lợi cho biến cố $C$ là $14; 17$ . Do đó, có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Xác suất của biến cố

C

là

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Câu 4

Câu tự luận

Cho $Δ A B C$ cân tại $A$ có các đường cao $B D, C E$ cắt nhau tại $H$ .

a) Chứng minh rằng $Δ A D B = Δ A E C$ và $B E = C D$ .

b) Chứng minh $Δ H B C$ là tam giác cân. So sánh $H B$ và $H D$ .

c) Gọi $M$ là trung điểm của $H C,$ $N$ là trung điểm của $H B$ , $I$ là giao điểm của $B M$ và $C N$ .

Chứng minh rằng $A, H, I$ thẳng hàng.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Δ A B C

cân tại

A

có các đường cao

B D, C E

cắt nhau tại

H

. a) Chứng minh rằng

Δ A D B = Δ A E C

và

B E = C D

. b) Chứng minh

Δ H B C

là tam giác cân. So sánh

H B

và

H D

. c) Gọi

M

là trung điểm của

H C,

N

là trung điểm của

H B

I

là giao điểm của

B M

và

C N

. Chứng minh rằng

A, H, I

thẳng hàng. (ảnh 1)">

Xét $Δ A D B$ và $Δ A E C$ có:

$A D B = A E C = 9 0^{\circ}$ ;

$A B = A C$ (do $Δ A B C$ cân tại $A$ );

$B A C$ là góc chung.

Do đó $Δ A D B = Δ A E C$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $A D = A E$ (hai cạnh tương ứng).

Mà

A B = A C

(chứng minh trên)

Nên $A B - A E = A C - A D$ hay $B E = C D$ .

b) Do $Δ A D B = Δ A E C$ (câu a) nên $A B D = A C E$ (hai góc tương ứng)

Xét $Δ B H E$ và $Δ C H D$ có:

$B E H = C D H = 9 0^{\circ}$ ;

$B E = C D$ (chứng minh câu a);

$E B H = D C H$ (chứng minh trên).

Do đó $Δ B H E = Δ C H D$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra $H B = H C$ (hai cạnh tương ứng)

Tam giác $H B C$ có $H B = H C$ nên là tam giác cân tại $H$ .

Xét $Δ H D C$ vuông tại $D$ có $H C$ là cạnh huyền nên là cạnh có độ dài lớn nhất.

Do đó $H C > H D$ .

Mà $H B = H C$ (chứng minh trên) nên $H B > H D .$

c) Gọi $P$ là giao điểm của $H I$ và $B C$ .

$Δ H B C$ có hai đường trung tuyến $B M$ và $C N$ cắt nhau tại $I$ .

Do đó $I$ là trọng tâm của $Δ H B C$ nên $H P$ là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $H$ của tam giác.

Mà $Δ H B C$ cân tại $H$ nên đường trung tuyến $H P$ đồng thời là đường cao của tam giác.

Suy ra $H P ⊥ B C$ hay $H I ⊥ B C (1)$

$Δ A B C$ có $H$ là giao điểm của hai đường cao $B D$ và $C E$ nên $H$ là trực tâm của $Δ A B C$ .

Do đó $A H ⊥ B C (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra ba điểm $A, H, I$ cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với $B C$ tại $P$ .

Hay ba điểm $A, H, I$ thẳng hàng.

Câu 5

Câu tự luận

Một khu vui chơi bán $100$ vé vui chơi trong ngày, các vé được ghi một trong các số $1, 2, 3, ...., 99, 100$ (hai vé khác nhau thì ghi hai số khác nhau). Nam mua ngẫu nhiên một vé. Tính xác suất “Số ghi trên vé của Nam là số có tổng các chữ số bằng $9$ ”.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Nhận thấy, số có tổng các chữ số bằng 9 là các số chia hết cho 9.

Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố này là: $9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90$ .

Suy ra có 10 kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất của biến cố “Số ghi trên vé của Nam là số có tổng các chữ số chia hết cho $9$ ” là: $\frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ .