Đề thi cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo (Tự luận) – Đề 2 (có đáp án)

5 câu · Đề cuối kì 2

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

1.1. Tìm $x,$ biết:

a) $\frac{x}{- 6} = \frac{3}{4};$ b) $\frac{2 x + 1}{6} = \frac{3 - x}{9}$ .

1.2. Hưởng ứng chương trình giúp đỡ các bạn học sinh vùng núi, ba lớp $7 A$ , $7 B$ , $7 C$ đã quyên góp được một số lượng quyển vở tỉ lệ với số học sinh của mỗi lớp. Biết rằng lớp $7 A$ có 32 học sinh, lớp $7 B$ có 35 học sinh, lớp $7 C$ có 36 học sinh và tổng số quyển vở lớp $7 A$ và $7 B$ quyên góp được nhiều hơn lớp $7 C$ là 62 quyển. Tính số quyển vở mỗi lớp quyên góp được.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1.1.

a) $\frac{x}{- 6} = \frac{3}{4}$

$4 x = 3. (- 6)$

$4 x = - 18$

$x = \frac{- 18}{4}$

$x = \frac{- 9}{2}$ .

Vậy $x = \frac{- 9}{2}$ .

b) $\frac{2 x + 1}{6} = \frac{3 - x}{9}$

$9 (2 x + 1) = 6 (3 - x) (18 x + 6 x = 18 - 9$ )

$18 x + 9 = 18 - 6 x$

$24 x = 9$

$x = \frac{3}{8}$ .

Vậy $x = \frac{3}{8}$ .

1.2. Gọi $a$ , $b$ , $c$ (quyển vở) lần lượt là số quyển vở lớp $7 A$ , $7 B$ , $7 C$ quyên góp được.

Theo đề, ta có tổng số quyển vở lớp $7 A$ và $7 B$ quyên góp được nhiều hơn lớp $7 C$ là 62 quyển, suy ra $a + b - c = 62$ .

Do số quyển vở mỗi lớp quyên góp được tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp đó nên: $\frac{a}{32} = \frac{b}{35} = \frac{c}{36}$ .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: $\frac{a}{32} = \frac{b}{35} = \frac{c}{36} = \frac{a + b - c}{32 + 35 - 36} = \frac{62}{31} = 2$ .

Suy ra $a = 32.2 = 64$ ; $b = 35.2 = 70$ ; $c = 36.2 = 72$ .

Vậy số quyển vở lớp $7 A$ , $7 B$ , $7 C$ quyên góp được lần lượt là 64 quyển vở; 70 quyển vở và 72 quyển vở.

Câu 2

Câu tự luận

2.1. Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{x - 2 y - z}{2}$ với $x = - 1; y = 1; z = - 1$ .

2.2. Cho đa thức $A (x) = \frac{3}{4} x^{3} - 1 + \frac{3}{5} x + 4 x^{2} + \frac{5}{4} x^{3} - \frac{8}{5} x + 4 + 7 x^{2}$ .

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức $A (x)$ theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Xác định bậc và hệ số cao nhất của đa thức $A (x)$ .

c) Cho $B (x) = (x^{2} + 1) (2 x + 11) - 5 x - 8$ .

Tìm đa thức $C (x)$ sao cho $B (x) - C (x) = A (x)$ .

d) Tìm nghiệm của đa thức $C (x)$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

2.1. Thay $x = - 1; y = 1; z = - 1$ vào biểu thức $A = \frac{x - 2 y - z}{2}$ , ta được:

$A = \frac{- 1 - 2.1 - ( - 1 )}{2} = \frac{- 1 - 2 + 1}{2} = - 1$ .

Vậy giá trị của biểu thức $A = - 1$ .

2.2. a) $A (x) = \frac{3}{4} x^{3} - 1 + \frac{3}{5} x + 4 x^{2} + \frac{5}{4} x^{3} - \frac{8}{5} x + 4 + 7 x^{2}$

$= (\frac{3}{4} + \frac{5}{4}) x^{3} + (4 + 7) x^{2} + (\frac{3}{5} - \frac{8}{5}) x - 1 + 4$

$= 2 x^{3} + 11 x^{2} - x + 3$ .

b) Bậc của đa thức $A (x)$ là 3.

Hệ số cao nhất của đa thức $A (x)$ là 2.

c) $B (x) = (x^{2} + 1) (2 x + 11) - 5 x - 8$

0 $= 2 x^{3} + 11 x^{2} + 2 x + 11 - 5 x - 8$

$= 2 x^{3} + 11 x^{2} - 3 x + 3$

Ta có $B (x) - C (x) = A (x)$ .

Suy ra $C (x) = B (x) - A (x)$

$= 2 x^{3} + 11 x^{2} - 3 x + 3 - (2 x^{3} + 11 x^{2} - x + 3)$

$= 2 x^{3} + 11 x^{2} - 3 x + 3 - 2 x^{3} - 11 x^{2} + x - 3$

$= - 2 x$ .

d) Để tìm nghiệm của đa thức $C (x)$ , ta cho $C (x) = 0$

Do đó $- 2 x = 0$

Suy ra $x = 0$ .

Vậy nghiệm của đa thức $C (x)$ là $x = 0$ .

Câu 3

Câu tự luận

Một hộp có 7 quả bóng có kích thước giống nhau và được đánh số lần lượt là $1; 2; 3;$ $4; 5; 6; 7$ . Rút ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp.

a) Viết tập hợp $M$ gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra.

b) Tính xác suất của biến cố $A$ : “Rút được thẻ ghi số là số chẵn”.

c) Tính xác suất của biến cố $B$ : “Rút được thẻ ghi số là số chia cho 5 dư 2”.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra là:

$M = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}$ .

Do đó, có $7$ kết quả có thể xảy ra.

b) Kết quả thuận lợi của biến cố: “Rút được thẻ ghi số là số chẵn” là: $2; 4; 6$ .

Xác suất của biến cố $A$ là $\frac{3}{7}$ .

c) Kết quả thuận lợi của biến cố: “Rút được thẻ ghi số là số chia 5 dư 2” là $2; 7$ .

Xác suất của biến cố

B

là

\frac{2}{7}

Câu 4

Câu tự luận

Cho tam giác nhọn $A B C$ $(A B < A C)$ có đường cao $A H$ .

a) Chứng minh $B A H < H A C$ .

b) Trên đoạn thẳng $H C$ lấy điểm $D$ sao cho $H D = H B$ . Chứng minh tam giác $A B D$ là tam giác cân.

c) Từ $D$ kẻ $D E ⊥ A C$ , từ $C$ kẻ $C F ⊥ A D$ . Chứng minh ba đường thẳng $A H, D E, C F$ đồng quy.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

A B C

(A B < A C)

có đường cao

A H

. a) Chứng minh

B A H < H A C

. b) Trên đoạn thẳng

H C

lấy điểm

D

sao cho

H D = H B

. Chứng minh tam giác

A B D

là tam giác cân. c) Từ

D

kẻ

D E ⊥ A C

, từ

C

kẻ

C F ⊥ A D

. Chứng minh ba đường thẳng

A H, D E, C F

đồng quy. (ảnh 1)">

a) Xét $Δ A B C$ có $A B < A C$ nên $C < B$ .

Mà $C = 9 0^{\circ} - H A C$ và $B = 9 0^{\circ} - B A H$ .

Do đó $9 0^{\circ} - H A C < 9 0^{\circ} - B A H$ hay $H A C > B A H$ .

b) Xét $Δ A B H$ và $Δ A D H$ có:

$A H B = A H D = 9 0^{\circ}$ ;

$A H$ là cạnh chung;

$H B = H D$ (giả thiết).

Do đó $Δ A B H = Δ A D H$ (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $A B = A D$ (hai cạnh tương ứng).

Tam giác $A B D$ có $A B = A D$ nên là tam giác cân tại $A$ .

c) Kéo dài $A H$ và $C F$ cắt nhau tại $K$ .

Xét $Δ A K C$ có $C H ⊥ A K, A F ⊥ C K$ , $C H$ cắt $A F$ tại $D$ nên $D$ là trực tâm của $Δ A K C$ .

Suy ra $K D ⊥ A C$

Mà $D E ⊥ A C$ nên ba điểm $K, D, E$ thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng $A H, D E, C F$ đồng quy.

Câu 5

Câu tự luận

Một người bấm số để gọi điện thoại nhưng quên hai số cuối và chỉ nhớ rằng hai chữ số đó khác nhau. Tính xác suất của biến cố “Người đó bấm thử 1 lần được đúng số điện thoại cần gọi”.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có, hai số cuối của điện thoại là hai chữ số khác nhau được lập từ bộ số ${0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} .$

Vậy thì số thứ nhất trong hai số cuối đó có 10 cách chọn, số còn lại có 9 cách chọn do hai số đó là hai số khác nhau.

Vì vậy, số kết quả có thể xảy ra là: $9.10 = 90$ (kết quả).

Vì chỉ có 1 số điện thoại cần gọi đúng nên xác suất của biến cố “Người đó bấm thử một lần được đúng số điện thoại cần gọi” là: $\frac{1}{90} .$