Đề thi giữa kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo – Đề 01 (có đáp án)

a) $\frac{x}{6}=\frac{-24}{18}$

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức, ta có:

$18x=\left(-24\right).6$

$18x=-144$

$x=\left(-144\right):18$

$x=-8$

Vậy $x=-8$.

b) $\frac{2x+4}{5}=\frac{2x+1}{10}$

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

$10.\left(2x+4\right)=5.\left(2x+1\right)$

$20x+40=10x+5$

$20x-10x=-40+5$

$10x=-35$

$x=\left(-35\right):10$

$x=\frac{-7}{2}$

Vậy $x=\frac{-7}{2}$.

c) $\frac{x+5}{8}=\frac{2}{x+5}$

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

$\left(x+5\right).\left(x+5\right)=8.2$

${\left(x+5\right)}^2=16$

${\left(x+5\right)}^2=4^2={\left(-4\right)}^2$

Trường hợp 1: $x+5=4$

$x=4-5$

$x=-1$

Trường hợp 2: $x+5=-4$

$x=-4-5$

$x=-9$

Vậy $x\in \left\{-1;-9\right\}$.

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$$\frac{a}{7}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{b+c}{3+4}=\frac{35}{7}=5$$.

Do đó $$\frac{a}{7}=5\Rightarrow a=5.7=35$$;

$$\frac{b}{3}=5\Rightarrow b=5.3=15$$;

$$\frac{c}{4}=5\Rightarrow c=5.4=20$$.

Do đó $a=35;b=15;c=20$.

b) Ta có $\frac{a}{3}=\frac{c}{5};7b=5c$ hay $\frac{a}{3}=\frac{c}{5};\frac{b}{5}=\frac{c}{7}$.

Do đó $\frac{a}{21}=\frac{c}{35};\frac{b}{25}=\frac{c}{35}$ suy ra $\frac{a}{21}=\frac{b}{25}=\frac{c}{35}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{21}=\frac{b}{25}=\frac{c}{35}=\frac{a-b+c}{21-25+35}=\frac{62}{31}=2$.

Suy ra $a=2.21=42;b=2.25=50;c=2.35=70$.

Vậy $a=42;b=50;c=70$.

Gọi $x,y,z$ (học sinh) lần lượt là số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C $\left(x,y,z\in \mathbb{N}\ast \right).$

Tổng số học sinh của ba lớp là 130 học sinh nên ta có $x+y+z=130$.

Vì số giấy thu được của ba lớp bằng nhau nên số giấy của mỗi học sinh tỉ lệ nghịch với số học sinh nên ta có: $2x=3y=4z$ suy ra $\frac{x}{6}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{6}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}=\frac{x+y+z}{6+4+3}=\frac{130}{13}=10$.

Do đó $$\frac{x}{6}=10\Rightarrow x=6.10=60$$ (thỏa mãn)

$\frac{y}{4}=10\Rightarrow y=4.10=40$ (thỏa mãn)

$\frac{z}{3}=10\Rightarrow z=3.10=30$ (thỏa mãn)

Vậy số học sinh tham gia phong trào ở các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 60 học sinh; 40 học sinh và 30 học sinh.

a) Tam giác $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên ta có: $BA=AC$.

Và: $\widehat{BAH}+\widehat{KAC}=\widehat{BAC}=90^{\circ }$.

Tam giác $\Delta KAC$ vuông tại $K$ nên ta có:

$\widehat{KAC}+\widehat{KCA}=180^{\circ }-\widehat{AKC}=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$

Suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{ACK}$ (cùng phụ với $\widehat{KAC}$)

Xét hai tam giác vuông $\Delta BAH$ và $\Delta ACK$ có:

$BA=AC$ (cmt)

$\widehat{BAH}=\widehat{ACK}$ (cmt)

Do đó $\Delta BAH=\Delta ACK$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $BH=AK$ (hai cạnh tương ứng).

b) Tam giác $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ có $M$ là trung điểm nên đường trung tuyến $AM$ cũng là đường cao.

Xét tam giác $\Delta ADC$ có $CK$ và $AM$ là hai đường cao cắt nhau tại $I$.

Suy ra $I$ là trực tâm của tam giác $\Delta ADC$.

Nên $DI$ cũng là đường cao của tam giác $\Delta ADC$.

Suy ra $DI\perp AC$ (đpcm).

c) $\widehat{BAH}=\widehat{ACK}$ (cmt)

Tam giác $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến cũng là đường phân giác.

Khi đó $\widehat{BAH}+\widehat{HAM}=\widehat{BAM}=45^{\circ }$ và $\widehat{ACK}+\widehat{KCM}=\widehat{ACM}=45^{\circ }$.

Suy ra $$\widehat{HAM}=\widehat{KCM}$$

$\Delta BAH=\Delta ACK$ (cmt)

Suy ra $AH=CK$ (hai cạnh tương ứng).

Tam giác $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên ta có: $AM=CM=\frac{BC}{2}.$

• Xét hai tam giác vuông $\Delta AMH$ và $\Delta CMK$ có:

$AM=CM$ (cmt)

$$\widehat{HAM}=\widehat{KCM}$$ (cmt)

$AH=CK$ (cmt)

Do đó $\Delta AMH=\Delta CMK$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AHM}=\widehat{CKM}$ (hai góc tương ứng); $MH=MK$ (hai cạnh tương ứng).

Suy ra tam giác $\Delta MHK$ cân tại $M$.

Do đó $\widehat{MHK}=\widehat{MKH}$.

• Ta có: $\widehat{CKH}=90^{\circ }$

Hay $\widehat{CKM}+\widehat{MKH}=90^{\circ }$

$\widehat{AHM}+\widehat{MHK}=90^{\circ }$

$\widehat{KHM}+\widehat{MHK}=90^{\circ }$

Từ đó $2.\widehat{MHK}=90^{\circ }$

Suy ra $\widehat{MHK}=45^{\circ }$

Do đó $\widehat{MKH}=45^{\circ }$

• Xét góc $\widehat{CKH}$ có $\widehat{CKH}=90^{\circ }$

Hay $\widehat{CKM}+\widehat{MKH}=90^{\circ }$ hay$\widehat{CKM}+45^{\circ }=90^{\circ }$

Suy ra $\widehat{CKM}=45^{\circ }$ do đó $\widehat{MKH}=\widehat{CKM}$.

Vậy $KM$ là đường phân giác của $\widehat{HKC}$ (đpcm).

Trường hợp 1: $a,b,c\ne 0$ và $a+b+c=0$ hay $a+b=-c;a+c=-b;b+c=-a$ thay vào biểu thức $S$, ta được:

$S=\frac{\left(-c\right)\left(-a\right)\left(-b\right)}{abc}=\frac{-abc}{abc}=-1$.

Trường hợp 2: $a,b,c\ne 0$ và $a+b+c\ne 0$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a+b-c}{c}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{a+b-c+c+a-b+b+c-a}{c+b+a}$

$=\frac{a+b+c}{c+b+a}=1$.

Suy ra $a+b-c=c;c+a-b=b;b+c-a=a$.

Do đó $a+b=2c;c+a=2b;b+c=2a$.

Thay $a+b=2c;c+a=2b;b+c=2a$ vào biểu thức $S$, ta có:

$S=\frac{2a.2b.2c}{abc}=8$.