Đề thi cuối kì 2 Toán 7 Cánh diều – Đề 5 (có đáp án)

a) $A\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^3+\frac{11}{3}{x}^2-6x-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{7}{4}{x}^3+2x+3$

$=\left(\frac{1}{4}+\frac{7}{4}\right)x^3+\left(\frac{11}{3}-\frac{2}{3}\right)x^2+\left(-6+2\right)x+3$

$=2x^3+3x^2-4x+3$.

b) Đa thức $A\left(x\right)$ có bậc là 3 và hệ số cao nhất là $2$.

c) Ta có $A\left(-1\right)=2.{\left(-1\right)}^3+3.{\left(-1\right)}^2-4.\left(-1\right)+3=8$.

Theo bài, $2^n=A\left(-1\right)$ nên $2^n=8=2^3$

Suy ra $n=3$.

Vậy $n=3$.

d) $B\left(x\right)=\left(x^2-x+1\right)\left(2x+3\right)$

$=2x^3+3x^2-2x^2-3x+2x+3$

$=2x^3+x^2-x+3$

Ta có $C\left(x\right)=A\left(x\right)-B\left(x\right)$

$=2x^3+3x^2-4x+3-\left(2x^3+x^2-x+3\right)$

$=2x^3+3x^2-4x+3-2x^3-x^2+x-3$

$=2x^2-3x$.

Để tìm nghiệm của đa thức $C\left(x\right)$, ta cho $C\left(x\right)=0$

Do đó $2x^2-3x=0$

$x\left(2x-3\right)=0$

Suy ra $x=0$ hoặc $x=\frac{3}{2}$.

Vậy nghiệm của đa thức $C\left(x\right)$ là $x\in \left\{0;\frac{3}{2}\right\}$.

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$, có:

$\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^{\circ }$;

$BD$ là cạnh chung;

$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ (do $BD$ là tia phân giác của $\hat{B}$).

Do đó $\Delta ABD=\Delta EBD$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $BA=BE$ (hai cạnh tương ứng).

b) Xét $\Delta BEM$ và $\Delta BAC$, có:

$\widehat{BEM}=\widehat{BAC}=90^{\circ }$;

$\widehat{ABE}$ là góc chung;

$BA=BE$ (chứng minh câu a).

Do đó $\Delta BEM=\Delta BAC$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra $\widehat{BME}=\widehat{BCA}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{ADM}$ phụ với $$\widehat{BME}$$; $\widehat{ABC}$ phụ với $\widehat{BCA}$.

Do đó $\widehat{ADM}=\widehat{ABC}$.

Lại có $\widehat{BCA}<\widehat{ABC}$ (do $AB<AC$).

Suy ra $\widehat{BME}=\widehat{BCA}<\widehat{ABC}$ hay $\widehat{AMD}<\widehat{ADM}$.

Khi đó $AD<AM$ (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác).

Mà $AM<DM$ (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc).

Vậy trong $\Delta ADM$, $AD<AM<DM$.

c) $\Delta MBC$ có $CA$ và $ME$ là hai đường cao cắt nhau tại $D$.

Suy ra $D$ là trực tâm của $\Delta MBC$.

Do đó $BD$ là đường cao thứ ba của $\Delta MBC$ (1)

Do $\Delta BEM=\Delta BAC$ (câu b) nên $BM=BC$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta BMC$ có $BM=BC$ nên là tam giác cân tại $B$.

Khi đó đường trung tuyến $BK$ của tam giác đồng thời là đường cao của $\Delta MBC$ (2)

Từ (1), (2), suy ra ba điểm $B$, $D$, $K$ thẳng hàng.

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức $A$ cho đa thức $x^2-4x+1$ như sau:

Do đó ta có $A=\left(x^2-4x+1\right).\left(x^3+x^2+5\right)+1$.

Mà theo bài, $x^2-4x+1=0$ nên $A=0.\left(x^3+x^2+5\right)+1=1$.

Vậy $A=1$.