Đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 05

Giả sử điểm $M$ chia đoạn thẳng $AB$ thành hai đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán, $AM>MB.$

Gọi độ dài của $AM=x$ $(\mathrm{cm})\left(0<x<10\right)$ suy ra $MB=10-x(\mathrm{cm}).$

Theo đề bài, bạn An chia đoạn thẳng $AB$ thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn $AB$ bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn nên ta có $\frac{AM}{AB}=\frac{MB}{AM}$ hay $\frac{x}{10}=\frac{10-x}{x}$.

Giải phương trình:

$\frac{x}{10}=\frac{10-x}{x}$

$x^2=10\left(10-x\right)$

$x^2=100-10x$

$x^2+10x-100=0$

Giải phương trình trên ta được $x_1=-5-5\sqrt{5};$$x_2=-5+5\sqrt{5}.$

Ta thấy chỉ có giá trị $x_2=-5+5\sqrt{5}$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy $AM=-5+5\sqrt{5}(\mathrm{cm}),$ tỉ số cần tìm là $\frac{AM}{AB}=\frac{-5+5\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$

Xét phương trình $2x^2-\left(m+1\right)x+2m-6=0$

Ta có $\Delta ={\left(m+1\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(2m-6\right)$

 $=m^2+2m+1-16m+48$

 $=m^2-14m+49$

 $={\left(m-7\right)}^2\ge 0$ với mọi $m$.

Do đó, phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.

Vì $\Delta ={\left(m-7\right)}^2\ge 0$ với mọi $m$ nên ta có phương trình $\left(\ast \right)$ luôn có hai nghiệm là: $x=\frac{m-3}{2};x=2.$

Trường hợp 1: $x_1=\frac{m-3}{2};x_2=2.$

Mà $x_1<x_2$ nên $\frac{m-3}{2}<2$ hay $m<7$.

Theo bài, $2\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=6$

$2\left|\frac{m-3}{2}\right|-\left|2\right|=6$

$\left|m-3\right|=8$

$m-3=8$ hoặc $m-3=-8$

$m=11$ (không thỏa mãn) hoặc $m=-5$ (thỏa mãn).

Trường hợp 2: $x_1=2;x_2=\frac{m-3}{2}.$

Mà $x_1<x_2$ nên $2<\frac{m-3}{2}$ hay $m>7$.

Theo bài, $2\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=6$

$2\cdot \left|2\right|-\left|\frac{m-3}{2}\right|=6$

$4-\frac{|m-3|}{2}=6$

$\left|m-3\right|=-4$ (vô lí vì $\left|m-3\right|\ge 0).$

Vậy $m=-5$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.