Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề 10)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\frac{a-1}{2}-2>0$

$\frac{a-1-4}{2}>0$

$\frac{a-5}{2}>0$

Vì $a>5$ nên $a-5>0$ và $2>0$ do đó $\frac{a-5}{2}>0$.

Vậy nếu $a>5$ thì $\frac{a-1}{2}-2>0.$

b) Vì đồ thị hàm số $y=ax+b$ đi qua hai điểm $A\left(1;-1\right)$ và $B\left(4;5\right)$ nên thay lần lượt từng cặp giá trị $x,y$ vào hàm số, ta có: $\{\begin{array}{l}-1=a\cdot 1+b\\ 5=a\cdot 4+b\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ 4a+b=5.\end{array}$

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

$3a=6,$ suy ra $a=2.$

Thay $a=2$ vào phương trình $a+b=-1,$ ta được:

$2+b=-1,$ suy ra $b=-3.$

Vậy hàm số cần tìm là $y=2x-3.$

c) Gọi số học sinh trường A là $x$ (học sinh).

Gọi số học sinh trường B là $y$ (học sinh) $\left(0<x,y<500\right)$.

Theo đề bài, cả hai trường có tổng cộng 500 học sinh, suy ra $x+y=500\left(1\right)$.

Kết quả có 420 học sinh trúng tuyển trong đó có 80% học sinh trường A và $$90\%$$ học sinh trường B nên ta có: $80\%x+90\%y=420$ hay $0,8x+0,9y=420\left(2\right)$.

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y=500\\ 0,8x+0,9y=420\end{array}$.

Từ phương trình $\left(1\right)$ ta có $x+y=500$ hay $x=500-y$. Thế vào phương trình thứ (2), ta được $0,8\left(500-y\right)+0,9y=420$, tức là $400+0,1y=420$ suy ra $y=200$ (thỏa mãn).

Khi đó, $x=500-200=300$ (thỏa mãn).

Vậy số học sinh trường A là 300 học sinh, số học sinh trường B là 200 học sinh.

Hướng dẫn giải

a) $B=\cot 20^{\circ }\cdot \cot 40^{\circ }\cdot \cot 50^{\circ }\cdot \cot 70^{\circ }$

$=\cot 20^{\circ }\cdot \cot 40^{\circ }\cdot \tan \left(90^{\circ }-50^{\circ }\right)\cdot \tan \left(90^{\circ }-70^{\circ }\right)$

$=\cot 20^{\circ }\cdot \cot 40^{\circ }\cdot \tan 40^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }$

$=\left(\cot 20^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }\right)\cdot \left(\cot 40^{\circ }\cdot \tan 40^{\circ }\right)$

$=1\cdot 1=1.$

Vậy $B=1.$

b) $A=\cos 40^{\circ }-\sin 50^{\circ }+\tan 20^{\circ }\cot 20^{\circ }$

$=\cos 40^{\circ }-\cos 40^{\circ }+1$

$=0+1=1.$

Hướng dẫn giải

Đổi $1,221\mathrm{km}=1221\mathrm{m}.$

a) Do $$Bx//AC$$ nên $$\widehat{ACB}=\widehat{CBx}$$ (so le trong).

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $$A$$ nên $AB=AC\cdot \tan \widehat{ACB}=1221\cdot \tan 25^{\circ }\approx 569(\mathrm{m}).$

Vậy chiều cao của đài quan sát khoảng: $$3+569=572$$ (m).

b) Đổi: $$60$$ km/h $$=1000$$ m/phút.

Do $$Bx//AC$$ và $$AB\perp AC$$ nên ta có $\widehat{ABx}=\widehat{BAC}=90^{\circ }.$

Quãng đường $$CD$$ là: $$CD=1000\cdot 1=1000$$ (m).

Do đó: $$AD=AC-CD=1221-1000=221$$ (m).

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $$A$$ có: $\tan \widehat{ABD}=\frac{AD}{AB}\approx \frac{221}{569}.$ Suy ra $\widehat{ABD}\approx 21^{\circ }14^{\prime }.$

Mà $\widehat{DBx}+\widehat{ABD}=\widehat{ABx}=90^{\circ }.$

Suy ra $\alpha =\widehat{DBx}=90^{\circ }-\widehat{ABD}\approx 90^{\circ }-21^{\circ }14^{\prime }=68^{\circ }46^{\prime }.$

c) Vì $\Delta ABD$ vuông tại $$A$$ nên $AB=BD\cdot \cos \widehat{ABD}.$

Suy ra $BD=\frac{AB}{\cos \widehat{ABD}}\approx \frac{569}{\cos 21^{\circ }14^{\prime }}\approx 610(\mathrm{m}).$

Vậy khoảng cách từ mắt người quan sát đến vị trí $$D$$ khoảng $$610$$ mét.

Hướng dẫn giải

Ta có: $$x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0.$$

$\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0$

${\left(x+y\right)}^2+7\left(x+y\right)+y^2+10=0\left(1\right)$

Đặt $$S=x+y$$.

Khi đó phương trình $\left(1\right)$ trở thành: $$S^2+7S+y^2+10=0$$

$S^2+7S+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}-y^2$

${\left(S+\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}-y^2\le \frac{9}{4}$.

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $\frac{9}{4}-y^2=\frac{9}{4}$ hay $y=0$.

Do đó ${\left(S+\frac{7}{2}\right)}^2\le \frac{9}{4}$ nên $\frac{-3}{2}\le S+\frac{7}{2}\le \frac{3}{2}$ hay $$-5\le S\le -2.$$

Ta có $P=\frac{2x+2y-3}{x+y+6}=\frac{2\left(x+y+6\right)-15}{x+y+6}$ $=2-\frac{15}{x+y+6}=2-\frac{15}{S+6}\left(2\right)$

Với $$-5\le S\le -2$$ thì $1\le S+6\le 4$

$\frac{15}{4}\le \frac{15}{S+6}\le 15$

$2-15\le 2-\frac{15}{S+6}\le 2-\frac{15}{4}$

$-13\le 2-\frac{15}{S+6}\le -\frac{7}{4}$

$-13\le P\le -\frac{7}{4}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P$$ là $$-13$$ khi $x=-5;y=0$.

Và giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ là $\frac{-7}{4}$ khi $$x=-2;y=0.$$