Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều – Đề 03 (có đáp án)

Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức , ta được:

Vậy khi .

Với , ta có:

   

     

Vậy với  thì .

Với , ta có: 

Với để nhận giá trị nguyên thì là nhận giá trị nguyên hay .

Do đó, là ước của

Mà nên hay  (thỏa mãn).

Vậy thì nhận giá trị nguyên.

Điều kiện xác định: .

Ta có:

(thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm là .

 

 

                     

                        .

Vậy nghiệm của bất phương trình là .

Gọi là số học sinh của lớp 9A, là số học sinh của lớp 9B .

Theo đề bài, tổng số học sinh hai lớp là học sinh nên ta có phương trình

Lớp 9A góp được số giấy báo cũ là .

Lớp 9B góp được số giấy báo cũ là .

Mà lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A là  giấy báo cũ nên ta có phương trình:

suy ra hay .

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: .

Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ phương trình, ta được , suy ra (thỏa mãn).

Thay vào phương trình (1), ta được , suy ra  (thỏa mãn).

Vậy lớp 9A có học sinh, lớp 9B có học sinh.

Ta có: nên tứ giác là hình chữ nhật.

Do đó,

Xét tam giác  vuông tại , có: suy ra

Xét tam giác  vuông tại , có:

Do đó, chiều cao là khoảng:

Vậy chiều cao của trạm phát sóng đó khoảng .

Gọi là giao điểm của và đường tròn tâm đường kính

Suy ra (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay vuông tại

Ta có  

Mà (cùng là đường kính của đường tròn tâm )

Và (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn tâm )

Suy ra

Theo đề bài, tỉ số giữa chiều cao $h$ và chiều rộng đáy $y$ bằng $4$ nên $h=4y$.

Thể tích chiếc hộp $3\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3$ nên $xyh=3\left(\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3\right)$ hay $4x{y}^2=3$, suy ra $x=\frac{3}{4y^2}$.

Do chiếc hộp không nắp, do đó diện tích bìa cần dùng là tổng diện tích đáy hộp và diện tích xung quanh của hộp.

Ta có: $S=xy+2h\left(x+y\right)=\frac{3}{4y^2}\cdot y+2\cdot 4y\cdot \left(\frac{3}{4y^2}+y\right)$

              $=\frac{3}{4y}+\frac{6}{y}+8y^2=\frac{27}{4y}+8y^2=\frac{27}{8y}+\frac{27}{8y}+8y^2$.

Do $y$ là chiều rộng của hộp nên $y>0$.

Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số $\frac{27}{8y};\frac{27}{8y};8y^2$ không âm, ta được:

$\frac{27}{8y}+\frac{27}{8y}+8y^2\ge 3\cdot \sqrt[3]{\frac{27}{8y}\cdot \frac{27}{8y}\cdot 8y^2}$, suy ra $S\ge \frac{27}{2}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{27}{8y}=8y^2$, hay $y^3=\frac{27}{64}$ nên $y=\frac{3}{4}$ (dm).

Do đó, $x=\frac{3}{4y^2}=\frac{3}{4\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=\frac{4}{3}\left(\mathrm{dm}\right)$.

Vậy lượng bìa cần dùng ít nhất có diện tích là $\frac{27}{2}\left(\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2\right)$ khi chiều dài $x=\frac{4}{3}$ dm.