Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức – Đề 01 (có đáp án)

a) $\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}=\frac{3x-20}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}$

Điều kiện xác định: $x\ne 3,x\ne 2$.

Ta có: $\frac{2}{x-2}-\frac{3}{x-3}=\frac{3x-20}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}$

$\frac{2\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}-\frac{3\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\frac{3x-20}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}$

$\frac{2x-6-3x+6}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}=\frac{3x-20}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}$

$\frac{-x}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}=\frac{3x-20}{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}$

$-x=3x-20$

$4x=20$

$x=20:4$

$x=5$ (TM).

Vậy phương trình có nghiệm $x=</span></span>5$.

Gọi $x,y$ (ngày) lần lượt là số ngày đội $A$ và đội $B$ làm một mình để hoàn thành công việc $$\left(x,y>0\right)$$.

Trong một ngày đội $A$ làm được $\frac{1}{x}$ công việc, đội $B$ làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Trong một ngày, hai đội làm chung được số phần công việc là: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ (công việc).

Trong 8 ngày, số phần công việc hai đội làm được là: $8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)$ (công việc).

Sau 8 ngày, phần công việc còn lại là: $1-8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)$ (công việc).

Theo đề bài, khi làm một mình đội $B$tăng gấp đôi năng suất. Lúc này, trong 1 ngày, đội $B$ làm được: $2.\frac{1}{y}=\frac{2}{y}$ (công việc).

Trong 8 ngày tiếp theo, đội $B$ đã hoàn thành phần việc còn lại, nên ta có phương trình:

$1-8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=8.\frac{2}{y}$ hay $\frac{8}{x}+\frac{24}{y}=1\left(1\right)$

Mà ban đầu hai đội dự định hoàn thành công việc trong 12 ngày khi làm chung. Do đó, ta có phương trình:

$12\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1$ hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $$\left(2\right)$$, ta có hệ phương trình sau: $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\\ \frac{8}{x}+\frac{24}{y}=1\end{array}$.

Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có $\frac{1}{x}=\frac{1}{12}-\frac{1}{y}$ vào phương trình $\left(1\right)$, ta được:

$8\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{y}\right)+\frac{24}{y}=1$ hay $\frac{2}{3}+\frac{16}{y}=1$ suy ra $\frac{16}{y}=\frac{1}{3}$ khi $y=48$ (TMĐK).

Thay $y=48$ vào phương trình $$\left(2\right)$$ suy ra $\frac{1}{x}=\frac{1}{12}-\frac{1}{48}=\frac{1}{16}$, suy ra $x=16$ (TMĐK).

Vậy đội $A$ làm một mình sẽ hoàn thành công việc trong $16$ ngày, đội $B$ làm một mình sẽ hoàn thành công việc trong $48$ngày.

a) Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông $ABC$, có:

$AC=AB.\tan \widehat{CBA}=48.\tan 80^{\circ }\approx 272,22\left(\mathrm{m}\right).$

Do người đó có tầm mắt $$1,65\mathrm{m}$$ nên chiều cao của tòa nhà là:

$$272,22-1,65=270,57\left(\mathrm{m}\right)$$.

Vậy tòa nhà Lotte Center cao $$270,57\mathrm{m}$$.

b) Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở $$E$$ đến chân tòa nhà là độ dài đoạn $$EA$$.

Xét tam giác vuông $$EAD$$, ta có:

$$EA=\frac{AD}{\tan \widehat{DEA}}=\frac{200}{\tan 65^{\circ }}\approx 93,26\left(\mathrm{m}\right).$$

Khoảng cách của hai xe phế thải là: $$93,26-48=45,26\left(\mathrm{m}\right).$$

Vậy hai xe phế thải cách nhau $$45,26\mathrm{m}$$.

a) Xét đường tròn $$\left(O\right)$$ có: $$AB,AC$$ lần lượt là tiếp tuyến tại $$B,C$$ nên $$AB=AC$$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Suy ra $$A$$ thuộc đường trung trực của $$BC$$.

Mà $$OB=OC=R$$ nên $$O$$ thuộc đường trung trực của $$BC$$

Do đó $$OA$$ là đường trung trực của $$BC$$ nên $$OA\perp BC$$ tại $$H$$.

Diện tích giấy màu cần sử dụng chính bằng tổng diện tích bốn mặt bên là các tam giác cân có cạnh bên bằng $16\mathrm{cm}$ và cạnh đáy là $2x\left(\mathrm{cm}\right)$.

Xét tam giác $SBC$, kẻ đường cao $SH\perp BC$ tại $H$.

Do tam giác $SBC$ cân tại $S$ nên $SH$ vừa là đường cao, vừa là đường trung trực suy ra $H$ là trung điểm của $BC$.

Suy ra $BH=HC=\frac{BC}{2}=x\left(\mathrm{cm}\right)\left(0<x<16\right)$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $SHC$, ta có: $S{H}^2+H{C}^2=S{C}^2$

Suy ra $S{H}^2=16^2-x^2=256-x^2$.

Do đó $SH=\sqrt{256-x^2}$.

Diện tích tam giác $SBC$ là $\frac{1}{2}.2x.\sqrt{256-x^2}=x\sqrt{256-x^2}\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$.

Diện tích giấy màu cần sử dụng là $4x\sqrt{256-x^2}\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right)$.

Thực hiện tính giá trị lớn nhất của $S=4x\sqrt{256-x^2}$với $0<x<16$.

Ta có: $4x\sqrt{256-x^2}=4\sqrt{256x^2-x^4}$

                                $=4\sqrt{-\left(x^4-2.128x^2+{128}^2\right)+{128}^2}$

                                $=4\sqrt{-{\left(x^2-128\right)}^2+{128}^2}$.

Vì ${\left(x^2-128\right)}^2\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $-{\left(x^2-128\right)}^2\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Suy ra $4\sqrt{-{\left(x^2-128\right)}^2+{128}^2}\le 4\sqrt{{128}^2}=512$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Do đó, $S=4x\sqrt{256-x^2}\le 512$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Dấu  xảy ra khi $x^2-128=0$ hay $x=8\sqrt{2}\left(0<x<16\right)$.

Vậy diện tích giấy màu cần sử dụng nhiều nhất là $512\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$.