Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức – Đề 03 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Thay $x=\frac{1}{9}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta được: $A=\frac{\sqrt{\frac{1}{9}}+2}{\sqrt{\frac{1}{9}}-4}=\frac{\frac{1}{3}+2}{\frac{1}{3}-4}=\frac{\frac{7}{3}}{-\frac{11}{3}}=-\frac{7}{11}.$

Vậy $A=-\frac{7}{11}$ khi $x=\frac{1}{9}.$

b) Với $x>0,x\ne 16,$ ta có:

$$B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+4}-\frac{10\sqrt{x}-8}{16-x}$$$$=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+4}+\frac{10\sqrt{x}-8}{x-16}$$

$$=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}+\frac{10\sqrt{x}-8}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}$$

$$=\frac{x-4\sqrt{x}-2\sqrt{x}+8+10\sqrt{x}-8}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}$$

$$=\frac{x+4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-4}.$$

Vậy với $x>0,x\ne 16$ thì $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-4}.$

c) ⦁ Với $x>0,x\ne 16,$ ta có:

$\frac{A}{B}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-4}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-4}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-4}\cdot \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}.$

⦁ Để $\frac{A}{B}\ge 2$ thì $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\ge 2$.

Giải bất phương trình:

$\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\ge 2$

$\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-2\ge 0$

$\frac{\sqrt{x}+2-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ge 0$

$\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ge 0$

$2-\sqrt{x}\ge 0$ (do $\sqrt{x}>0$ với mọi $x>0,x\ne 16)$

$\sqrt{x}\le 2$

$x\le 4$.

Kết hợp điều kiện $x>0,x\ne 16,$ ta được: $0<x\le 4$.

Vậy $0<x\le 4$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

2. Gọi $x,y$ (giờ) lần lượt là số giờ tổ I, tổ II làm riêng để hoàn thành toàn bộ công việc $\left(x,y>0\right).$

⦁ Trong 1 giờ, tổ I làm được $\frac{1}{x}$ (công việc); tổ II làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Khi đó, trong 1 giờ, cả hai tổ làm được: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ (công việc).

Theo bài, nếu cả hai tổ cùng làm thì sau $15$ giờ xong công việc nên trong 1 giờ cả hai tổ làm chung được $\frac{1}{15}$ (công việc). Ta có phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{15}$ (1)

⦁ Trong 3 giờ, tổ I làm được $\frac{3}{x}$ (công việc).

Trong 5 giờ, tổ II làm được $\frac{5}{y}$ (công việc).

Theo bài, tổ I làm trong 3 giờ, tổ II làm trong 5 giờ thì hoàn thành được $25\%=\frac{1}{4}$ công việc nên ta có phương trình: $\frac{3}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}$ (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{15}\\ \frac{3}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\end{array}$.

Từ phương trình thứ nhất, ta được: $\frac{1}{x}=\frac{1}{15}-\frac{1}{y}$.

Thế $\frac{1}{x}=\frac{1}{15}-\frac{1}{y}$ vào phương trình thứ hai, ta được:

$3\left(\frac{1}{15}-\frac{1}{y}\right)+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}$ hay $\frac{1}{5}+\frac{2}{y}=\frac{1}{4}$, suy ra $\frac{2}{y}=\frac{1}{20}$ nên $y=40$ (thỏa mãn).

Thay $y=40$ vào phương trình $\frac{1}{x}=\frac{1}{15}-\frac{1}{y}$, ta được:

$\frac{1}{x}=\frac{1}{15}-\frac{1}{40}$ hay $\frac{1}{x}=\frac{1}{24}$, suy ra $x=24$ (thỏa mãn).

Vậy tổ I làm riêng trong 24 giờ sẽ hoàn thành công việc, tổ II làm riêng trong 40 giờ sẽ hoàn thành công việc.

Hướng dẫn giải

a) Theo đề bài, phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$ có tỉ lệ $3:2$ hay $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$, suy ra $\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $\sin \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$, suy ra $\alpha =\widehat{ABC}\approx 41^{\circ }49^{\prime }.$

Vậy góc $\alpha$ tạo bởi phần thân bị gãy $AB$ và mặt đất $BC$ khoảng $\alpha \approx 41^{\circ }49^{\prime }.$

b) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $AC=BC\cdot \tan \widehat{ABC}\approx 5\cdot \tan 41^{\circ }49^{\prime }\approx 4,47(\mathrm{m}).$

Mà $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$, suy ra $AB=\frac{3}{2}AC\approx \frac{3}{2}\cdot 4,47=6,705(\mathrm{m}).$

Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$.

Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: $$4,47+6,705=11,175\approx 11,18(\mathrm{m}).$$

Gọi độ dài của đoạn $$AE=x\left(0<x<4\right)$$ (m), suy ra độ dài đoạn $$EB=4-x\left(\mathrm{m}\right).$$

Theo đề, các phần đất hình tam giác bằng nhau, nên ta có:

$$AE=BH=GC=DF=x\left(\mathrm{m}\right)$$ và $$BE=CH=GD=AF=4-x\left(\mathrm{m}\right)$$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $$AEF$$ vuông tại $A$, có:

$$A{E}^2+A{F}^2=E{F}^2$$

$$x^2+{\left(4-x\right)}^2=E{F}^2$$

$$2x^2-8x+16=E{F}^2$$

Suy ra $$EF=\sqrt{2x^2-8x+16}=\sqrt{2\left(x^2-4x+4\right)+8}=\sqrt{2{\left(x-2\right)}^2+8}\left(\mathrm{m}\right).$$

Do các phần hình tam giác bằng nhau nên $$FG=GH=HE=EF=\sqrt{2{\left(x-2\right)}^2+8}\left(\mathrm{m}\right)$$.

Suy ra, chu vi $$EFGH$$ là: $$EF+FG+GH+HE=4EF=4\sqrt{2{\left(x-2\right)}^2+8}\left(\mathrm{m}\right)$$.

Để chu vi của tứ giác $$EFGH$$ nhỏ nhất thì $$4\sqrt{2{\left(x-2\right)}^2+8}$$ nhỏ nhất.

Với mọi $$0<x<4,$$ ta có:

$$2{\left(x-2\right)}^2\ge 0$$

$$2{\left(x-2\right)}^2+8\ge 8$$

$$\sqrt{2{\left(x-2\right)}^2+8}\ge \sqrt{8}$$

$$4\sqrt{2{\left(x-2\right)}^2+8}\ge 4\sqrt{8}$$

$$4\sqrt{2{\left(x-2\right)}^2+8}\ge 8\sqrt{2}$$.

Do đó, chu vi của tứ giác $$EFGH$$ nhỏ nhất bằng $$8\sqrt{2}\left(\mathrm{m}\right)$$ khi $$x-2=0$$ hay $$x=2\left(\mathrm{m}\right).$$

Vậy khoảng cách từ $$A$$ đến $$E$$ bằng $$2\mathrm{m}$$ thì tứ giác $$EFGH$$ có chu vi nhỏ nhất.