Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức – Đề 05 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Với $x=\frac{1}{16}$ (TMĐK), thay vào vào biểu thức $A$, ta được:

$A=\frac{\sqrt{\frac{1}{16}}+5}{2\sqrt{\frac{1}{16}}-1}=\frac{\frac{1}{4}+5}{2.\frac{1}{4}-1}=\frac{\frac{5}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{5}{2}.$

Vậy với giá trị $x=\frac{1}{16}$ thì $A=-\frac{5}{2}.$

b) Với $x\ge 0;x\ne 1;x\ne \frac{1}{4}$, ta có:

$B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}$

   $=\frac{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

   $=\frac{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2+{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2-\left(3\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

   $=\frac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

   $=\frac{2x-3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$=\frac{2x-2\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

   $=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$$=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}.$

Vậy với $x\ge 0;x\ne 1;x\ne \frac{1}{4}$ thì $B=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}.$

c) Với $x\ge 0;x\ne 1;x\ne \frac{1}{4}$, ta có:

$M=A.B=\frac{\sqrt{x}+5}{2\sqrt{x}-1}.\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{4}{\sqrt{x}+1}.$

Với $x\ge 0$ thì $\sqrt{x}+1\ge 1$, suy ra $\frac{\sqrt{x}+1}{4}\ge \frac{1}{4}$ suy ra $\frac{4}{\sqrt{x}+1}\le 4$.

Do đó, $1+\frac{4}{\sqrt{x}+1}\le 5$ hay $M\le 5$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}=0$ hay $x=0$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $M$ bằng $5$ khi $x=0.$

a) Điều kiện xác định: $x\ne 1$ và $x\ne -1$.

Ta có: $\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{8}{x^2-1}$

$\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{8}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$

$\frac{{\left(x-1\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{8}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$

${\left(x-1\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2=8$

$\left(x-1+x+1\right)\left(x-1-x-1\right)=8$

$2x.\left(-2\right)=8$

$-4x=8$

   $x=-2$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-2$.

Gọi $x$ là vận tốc của xe tải, $y$ là vận tốc của xe khách ($y>x>0$, km/h).

Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là $15$ km nên $y-x=15.$ (1)

Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = $\frac{7}{3}$ giờ.

Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: $\frac{7}{3}y$ (km) và xe tải đi được quãng đường là $\frac{2}{3}x$ (km).

Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: $\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}y=170$. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau $\{\begin{array}{l}y-x=15\\ \frac{2}{3}x+\frac{7}{3}y=170\end{array}$.

Từ phương trình (1), ta có: $y=15+x$, thế vào phương trình (2), ta được:

$\frac{2}{3}x+\frac{7}{3}\left(15+x\right)=170$

$\frac{2}{3}x+35+\frac{7}{3}x=170$

$3x=135$

$x=45$ (thỏa mãn).

Thay $x=45$ vào phương trình (1), ta được: $y=15+45=60$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe tải là $45$km/h, vận tốc của xe khách là $60$ km/h.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác $ADC$ vuông tại $C$, ta có:

$AC=CD\cdot \cot \widehat{DAC}=h\cdot \cot 60^{\circ }\left(\mathrm{m}\right).$

Xét tam giác $BDC$ vuông tại $C$, ta có:

$BC=CD\cdot \cot \widehat{DBC}=h\cdot \cot 75^{\circ }\left(\mathrm{m}\right).$

Do $AB=AC-BC$ nên $h\cdot \cot 60^{\circ }-h\cdot \cot 75^{\circ }=101$

Hay $h\cdot \left(\cot 60^{\circ }-\cot 75^{\circ }\right)=101$.

Suy ra $h=\frac{101}{\cot 60^{\circ }-\cot 75^{\circ }}\approx 326$ (m).

Vậy tháp Eiffel có độ cao khoảng $326$ (m).

a) Ta có $CA,CM$ là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn $\left(O\right)$ cắt nhau tại $C$ nên $CA=CM$ và $OC$ là tia phân giác của $$\widehat{AOM}$$, do đó $\widehat{AOC}=\widehat{COM}=\frac{1}{2}\widehat{AOM}.$

Tương tự, ta có $DB=DM$ và $$OD$$ là tia phân giác của $$\widehat{BOM}$$, do đó $\widehat{BOD}=\widehat{MOD}=\frac{1}{2}\widehat{BOM}.$

Mà $$\widehat{AOM}$$ và $$\widehat{BOM}$$ là hai góc kề bù nên $$\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^{\circ }.$$

Khi đó, ta có: $$\widehat{COM}+\widehat{MOD}=\frac{1}{2}\widehat{AOM}+\frac{1}{2}\widehat{BOM}=\frac{1}{2}\left(\widehat{AOM}+\widehat{BOM}\right)=\frac{1}{2}\cdot 180^{\circ }=90^{\circ }.$$

Hay $\widehat{COD}=90^{\circ }.$

Vì $CD$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn $\left(O\right)$ tại $M$ nên $$CD\perp OM.$$

Xét $\Delta COM$ và $\Delta ODM$ có:

$$\widehat{CMO}=\widehat{OMD}=90^{\circ }$$ và $\widehat{OCM}=\widehat{DOM}$ (cùng phụ với $\widehat{COM}$)

Do đó $\Delta COM\backsim \Delta ODM$ (g.g)

Suy ra $\frac{CM}{OM}=\frac{OM}{DM}$ hay $$O{M}^2=CM.DM$$.

Mà $$AC=CM$$ và $$BD=MD$$ (chứng minh trên)

Do đó, $$O{M}^2=CM.DM=AC.BD$$ hay $$R^2=AC\cdot BD$$. (1)

Mặt khác, $AB$ là đường kính của nửa đường tròn $\left(O\right)$ nên $$AB=2R,$$ suy ra $$A{B}^2=4R^2$$ nên $$R^2=\frac{A{B}^2}{4}.$$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $$AC.BD=\frac{A{B}^2}{4}$$.

Hướng dẫn giải

Chiều dài của đáy bể là $2x(\mathrm{m}).$

Diện tích đáy của bể là $2x^2\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Chiều cao của bể là: $\frac{72}{2x^2}=\frac{36}{x^2}\left(\mathrm{m}\right)$.

Diện tích xung quanh của bể là: $2\cdot \frac{36}{x^2}\cdot \left(x+2x\right)=\frac{72\cdot 3x}{x^2}=\frac{216}{x}\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:

$\frac{216}{x}+2x^2\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Do $x$ là chiều rộng của bể nên $x>0$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$2x^2+\frac{216}{x}=2x^2+\frac{108}{x}+\frac{108}{x}\ge 3\sqrt[3]{2x^2\cdot \frac{108}{x}\cdot \frac{108}{x}}$

Suy ra $2x^2+\frac{216}{x}\ge 3\sqrt[3]{23328}\approx 85,72$

Dấu “=” xảy ra khi $2x^2=\frac{108}{x}=\frac{108}{x}$ hay $2x^3=108$, tức là $x=\sqrt[3]{54}\approx 3,78\mathrm{m}.$

Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì $x\approx 3,78\mathrm{m}.$