Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều – Đề 2 (có đáp án)

1. Để hệ phương trình $\{\begin{array}{l}mx-ny=1\\ 2nx-5y=m\end{array}$ có nghiệm là $\left(-1;1\right)$ thì $x=-1$ và $y=1$ thỏa mãn hệ phương trình này, khi đó ta có $\{\begin{array}{l}m\cdot \left(-1\right)-n\cdot 1=1\\ 2n\cdot \left(-1\right)-5\cdot 1=m\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}-m-n=1\\ m+2n=-5\end{array}$.

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: $n=-4$.

Thay $n=-4$ vào phương trình $-m-n=1$ ta được:

$-m-\left(-4\right)=1$ nên $m=-3.$

Vậy $m=-3$ và $n=-4$.

2. Gọi $x,y$ (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm của tổ I và tổ II theo kế hoạch cần sản xuất $\left(x>0,y>0\right)$.

Theo bài, theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: $x+y=600$ (1)

Khi tổ I vượt kế hoạch 18% thì số sản phẩm tổ I sản xuất được là: $x+18\%x=1,18x$ (sản phẩm).

Khi tổ II vượt kế hoạch 21% thì số sản phẩm tổ II sản xuất được là: $y+21\%y=1,21y$ (sản phẩm).

Theo bài, cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm nên ta có phương trình:

$1,18x+1,21y=600+120$ hay $118x+121y=72000$   (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=600\\ 118x+121y=72000\end{array}$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 118, ta được: $\{\begin{array}{l}118x+118y=70800\\ 118x+121y=72000\end{array}$

Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$-3y=-1200$, suy ra $y=400$ (thỏa mãn).

Thay $y=400$ vào phương trình $x+y=600$, ta được:

$x+400=600$, suy ra $x=200$ (thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch, tổ I và tổ II cần sản xuất lần lượt là 200 sản phẩm và 400 sản phẩm.

a) Kẻ $CH\perp AB,H\in AB.$ Khi đó $CH$ là chiều cao của con dốc.

$A)$ đến trường (điểm $$B)$$ phải leo lên và xuống một con dốc đỉnh $C$ được mô tả như hình vẽ dưới. Cho biết đoạn $$AB$$ dài 762 m, $\hat{A}=4^{\circ },\hat{B}=6^{\circ }.$ a) Tính chiều cao con dốc (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét). b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ (làm tròn kết quả đến phút)? Biết rằng tốc độ lên dốc là 4 km/h và tốc độ xuống dốc là 19 km/h. (ảnh 2)">

⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $$H,$$ ta có: $\tan \widehat{CAH}=\frac{CH}{AH}$

Suy ra $AH=\frac{CH}{\tan \widehat{CAH}}=\frac{CH}{{tan6}^{\circ }}(\mathrm{m}).$ (1)

⦁ Xét $\Delta BCH$ vuông tại $$H,$$ ta có: $\tan \widehat{CBH}=\frac{CH}{BH}$

Suy ra $BH=\frac{CH}{\tan \widehat{CBH}}=\frac{CH}{{tan4}^{\circ }}(\mathrm{m}).$ (2)

⦁ Từ (1) và (2) ta có: $AH+BH=\frac{CH}{{tan6}^{\circ }}+\frac{CH}{{tan4}^{\circ }}$ hay $AB=CH\cdot \left(\frac{1}{{tan6}^{\circ }}+\frac{1}{{tan4}^{\circ }}\right)$

Do đó $762=CH\cdot \left(\frac{1}{{tan6}^{\circ }}+\frac{1}{{tan4}^{\circ }}\right)$

Suy ra $CH=\frac{762}{\frac{1}{{tan6}^{\circ }}+\frac{1}{{tan4}^{\circ }}}\approx 32(\mathrm{m}).$

Vậy chiều cao của con dốc là 32 m.

b) ⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $$H,$$ ta có: $\sin \widehat{CAH}=\frac{CH}{AC}$

Suy ra $AC=\frac{CH}{\sin \widehat{CAH}}\approx \frac{32}{{sin6}^{\circ }}(\mathrm{m})=\frac{4}{125{sin6}^{\circ }}(\mathrm{km}).$ (3)

Xét $\Delta BCH$ vuông tại $$H,$$ ta có: $\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{CB}$

Suy ra $CB=\frac{CH}{\sin \widehat{CBH}}\approx \frac{32}{{sin4}^{\circ }}(\mathrm{m})=\frac{4}{125{sin4}^{\circ }}(\mathrm{km}).$ (4)

⦁ Thời gian lên dốc $$AC$$ là: $$t_{AC}=\frac{S_{AC}}{v_{ld}}=\frac{AC}{v_{ld}}\approx \frac{4}{125{sin6}^{\circ }}:4=\frac{1}{125{sin6}^{\circ }}$$ (giờ).

Thời gian xuống dốc $CB$ là: $$t_{CB}=\frac{S_{CB}}{v_{xd}}=\frac{CB}{v_{xd}}\approx \frac{4}{125{sin4}^{\circ }}:19=\frac{4}{2{375sin4}^{\circ }}$$ (giờ).

Thời gian đi từ $A$ đến $B$ là:

$t_{AB}=t_{AC}+t_{CB}\approx \frac{1}{125\sin 6^{\circ }}+\frac{4}{2{375sin4}^{\circ }}\approx 0,1007$ (giờ) ≈ 6 phút.

Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ + 6 phút = 6 giờ 6 phút.

⦁ Trước hết, ta chứng minh với $a>0$ và $b>0$ luôn có $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}.$$

Thật vậy, với $a>0$ và $b>0,$ ta có:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)-4ab}{ab\left(a+b\right)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{ab\left(a+b\right)}\ge 0.$$\(\)

Do đó $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}.\left(\ast \right)$$

⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) cho hai số $2x>0$ và $y+z>0,$ ta có:

$$\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\ge \frac{4}{2x+y+z}$$

Suy ra $$\frac{1}{2x+y+z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right).$$

Áp dụng bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ cho hai số $y>0$ và $z>0,$ ta có:

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{4}{y+z}.$

Suy ra $$\frac{1}{y+z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}.$$

Do đó: $$\frac{1}{2x+y+z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right)\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right).$$

Chứng minh tương tự, ta có:

$$\frac{1}{x+2y+z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right);$$ $$\frac{1}{x+y+2z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right).$$

Khi đó:

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)$

$=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)$

$=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4}\cdot 4=1$ (do $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4).$

Vậy $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le 1.$