Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức – Đề 02 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Thay $x=25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta có:

$A=\frac{\sqrt{25}+1}{\sqrt{25}-3}=\frac{5+1}{5-3}=\frac{6}{2}=3.$

Vậy giá trị của biểu thức $A=3$ khi $x=25.$

b) Với $x\ge 0;x\ne 9;x\ne 1$, ta có:

$B=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x-1}\right).\frac{x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}$

   $=\left[\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right].\frac{x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}$

   $=\frac{2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{2\sqrt{x}+1}$$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.$

Vậy với $x\ge 0;x\ne 9;x\ne 1$ thì $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$.

c) Ta có: $A.B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$.

Để $A\cdot B<1$ thì $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}<1$

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-1<0$

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}<0$

$\frac{3}{\sqrt{x}-3}<0$.

Do $3>0$ nên để $\frac{3}{\sqrt{x}-3}<0$ thì $\sqrt{x}-3<0$ hay $\sqrt{x}<3$. Suy ra $x<9$.

Kết hợp với điều kiện $x\ge 0;x\ne 9;x\ne 1$ nên $0\le x<9;x\ne 1$.

Mà $x$ là số nguyên tố nên ta được $x\in \left\{2;3;5;7\right\}.$

Vậy các giá trị nguyên tố thỏa mãn $A\cdot B<1$ là $x\in \left\{2;3;5;7\right\}$.

Gọi $x$ là số học sinh của lớp 9A, $y$ là số học sinh của lớp 9B $\left(x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$.

Theo đề bài, tổng số học sinh hai lớp là $86$ học sinh nên ta có phương trình $x+y=86\left(1\right)$

Lớp 9A góp được số giấy báo cũ là $3.5+2.\left(x-3\right)=2x+9\left(\mathrm{kg}\right)$.

Lớp 9B góp được số giấy báo cũ là $3.5+2.\left(y-3\right)=2y+9\left(\mathrm{kg}\right)$.

Mà lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A $8kg$ giấy báo cũ nên ta có phương trình:

$2y+9-2x-9=8$ suy ra $2y-2x=8$ hay $y-x=4\left(2\right)$.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=86\\ y-x=4\end{array}$.

Cộng theo vế hai phương trình ta được $2y=90$, suy ra $y=45$ (TM).

Thay $y=45$ vào phương trình (1), ta được $x+45=86$, suy ra $x=41$ (TM).

Vậy lớp 9A có $41$ học sinh, lớp 9B có $45$ học sinh.

Hướng dẫn giải

Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng $BH$.

Xét tam giác $CAE$ vuông tại $E$, ta có: