Đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 03

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là (g/cm3)

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là (g/cm3).

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: (cm3).

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: (cm3).

Theo đề bài, thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm3 nên ta có phương trình:

Giải phương trình:

Giải phương trình trên ta được:

Ta thấy chỉ có giá trị thỏa mãn điều kiện.

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là g/cm3; khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là (g/cm3).

Xét phương trình $x^2-\left(2m-1\right)x+m^2-7=0$ $\left(\ast \right)$

Ta có: $\Delta ={\left(2m-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(m^2-7\right)=4m^2-4m+1-4m^2+28=-4m+29$.

Để phương trình $\left(\ast \right)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì $\Delta >0,$ tức là $-4m+29>0$ hay $m<\frac{29}{4}.$

Theo định lí Viète, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-1\left(1\right)\\ x_1{x}_2=m^2-7\left(2\right)\end{array}$

Theo bài, $4{x_1}^2-x_1-3x_2^2+x_2=x_1{x}_2$

$4{x_1}^2-4x_2^2-x_1+x_2^2+x_2-x_1{x}_2=0$

$$4\left({x_1}^2-x_2^2\right)+x_2\left(x_2-x_1\right)+x_2-x_1=0$$

$4\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)+\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+1\right)=0$

$\left(x_1-x_2\right)\left(4x_1+4x_2-x_2-1\right)=0$

$\left(x_1-x_2\right)\left(4x_1+3x_2-1\right)=0$

Xét trường hợp 1: $x_1-x_2=0$ suy ra $x_1=x_2$ (loại do $x_1\ne x_2).$

Xét trường hợp 2: $4x_1+3x_2-1=0$ suy ra $x_1+3\left(x_1+x_2\right)-1=0$ $\left(\ast \ast \right)$

Thay $x_1+x_2=2m-1$ vào $\left(\ast \ast \right)$ ta có: $x_1+3\left(2m-1\right)-1=0$ hay $x_1=-6m+4$.

Thay $x_1=-6m+4$ vào $\left(1\right)$ ta được $-6m+4+x_2=2m-1$, suy ra $x_2=8m-5.$

Thay $x_1=-6m+4$ và $x_2=8m-5$ vào $\left(2\right)$ ta được:

$\left(-6m+4\right)\left(8m-5\right)=m^2-7$

$-48m^2+30m+32m-20=m^2-7$

$-49m^2+62m-13=0$

$m=1$ (thỏa mãn); $m=\frac{13}{49}$ (thỏa mãn).

 Vậy với $m=\left\{1;\frac{13}{49}\right\}$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

1. Vì $F,E$ là tiếp điểm của đường tròn $\left(I\right)$ nội tiếp tam giác $ABC$ nên $$IF\perp AB,IE\perp AC.$$

Do đó $\widehat{IFA}=\widehat{IEA}=90^{\circ }$, nên hai tam giác $AIF,AIE$ là hai tam giác vuông có cùng cạnh huyền $AI$

Do đó đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $AIF,AIE$ là đường tròn đường kính $AI$ hay bốn điểm $A,E,I,F$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AI.$

Vậy tứ giác $AEIF$ là tứ giác nội tiếp.

2. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ nên $AI,BI,CI$ là các đường phân giác của tam giác.

Do đó $\widehat{IAF}=\frac{1}{2}\widehat{BAC};\widehat{IBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC};\widehat{ICB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

Ta có: $\widehat{AIF}=90^{\circ }-\widehat{IAF}=90^{\circ }-\frac{1}{2}\widehat{BAC}$. (1)

$$\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}+\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=\frac{1}{2}\left(180^{\circ }-\widehat{BAC}\right)=90^{\circ }-\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$$ (2)

Xét $\Delta IBC$ có $\widehat{KIC}$ là góc ngoài tại đỉnh $I$ nên $\widehat{KIC}=\widehat{IBC}+\widehat{ICB}.$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{AIF}=\widehat{KIC}.$ (4)

3. Tứ giác $AEIF$ là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{AEF}=\widehat{AIF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AF).$ (5)

Chứng minh tương tự câu 1, ta có tứ giác $IEKC$ nội tiếp đường tròn đường kính $IC.$

Do đó $\widehat{KEC}=\widehat{KIC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $KC).$ (6)

Từ (4), (5), (6) ta có $\widehat{AEF}=\widehat{KEC}$.

Mà $\widehat{AEF}+\widehat{FEC}=180^{\circ }$ nên $\widehat{KEC}+\widehat{FEC}=180^{\circ }$ hay ba điểm $F,E,K$ thẳng hàng.