Đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) – Đề 5 (có đáp án)

     1. a) Xét các phương trình trên, ta có phương trình bậc hai một ẩn là: $-x^2-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=0;$

$-3x^2+4\sqrt{6}x-4=0.$

     • Với phương trình $-x^2-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=0$ có $a=-1,b=-\frac{3}{2},c=-\frac{1}{2}.$

     • Với phương trình $-3x^2+4\sqrt{6}x-4=0$ có $a=-3,b=-4\sqrt{6},c=-4.$

     b) Giải phương trình:

     • Ta có: $-x^2-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=0$ hay $-2x^2-3x-1=0$ có $a-b+c=-2-\left(-3\right)+\left(-1\right)=0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm là $x=-1$ và $x=-\frac{1}{2}$.

Vậy nghiệm của phương trình $-x^2-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=0$ là $\left\{-1;-\frac{1}{2}\right\}$.

     • Ta có: $-3x^2+4\sqrt{6}x-4=0$ hay $-{\left(\sqrt{3}x-2\right)}^2=0$ suy ra $\sqrt{3}x-2=0$ nên $x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Vậy phương trình $-3x^2+4\sqrt{6}x-4=0$ có nghiệm là $\left\{\frac{2\sqrt{3}}{3}\right\}.$

     2. Giả sử điểm $M$ chia đoạn thẳng $AB$ thành hai đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán, $AM>MB.$

Gọi độ dài của $AM=x$ $(\mathrm{cm})\left(0<x<10\right)$ suy ra $MB=10-x(\mathrm{cm}).$

Theo đề bài, bạn An chia đoạn thẳng $AB$ thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn $AB$ bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn nên ta có $\frac{AM}{AB}=\frac{MB}{AM}$ hay $\frac{x}{10}=\frac{10-x}{x}$.

Giải phương trình:

$\frac{x}{10}=\frac{10-x}{x}$

$x^2=10\left(10-x\right)$

$x^2=100-10x$

$x^2+10x-100=0$

Giải phương trình trên ta được $x_1=-5-5\sqrt{5};$$x_2=-5+5\sqrt{5}.$

Ta thấy chỉ có giá trị $x_2=-5+5\sqrt{5}$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy $AM=-5+5\sqrt{5}(\mathrm{cm}),$ tỉ số cần tìm là $\frac{AM}{AB}=\frac{-5+5\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$

     a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left(P\right)$ và $\left(d\right)$, ta có: $-\frac{1}{2}{x}^2=\frac{x}{2}-1$

     Suy ra $-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{x}{2}+1=0$ hay $x^2+x-2=0$ nên $\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0$

     Suy ra $x=-2$ hoặc $x=1$.

     • Với $x=-2$ thì $y=-2$, suy ra $A\left(-2;-2\right)$.

     • Với $x=1$ thì $y=-\frac{1}{2}$, suy ra $B\left(1;-\frac{1}{2}\right)$.

     Vậy điểm $A\left(-2;-2\right);B\left(1;-\frac{1}{2}\right)$ là điểm thuộc cả $\left(P\right)$ và $\left(d\right)$.

     b) Gọi điểm cần tìm là $I\left(3y_0;y_0\right)$, thay vào $\left(P\right)$, ta có: $y_0=-\frac{1}{2}{\left(3y_0\right)}^2$ hay $y_0=-\frac{9}{2}{y_0}^2.$

     Suy ra $\frac{y_0}{{y_0}^2}=-\frac{9}{2}$ hay $\frac{1}{y_0}=-\frac{9}{2}$ nên $y_0=-\frac{2}{9}$, do đó $x_0=3y_0=\frac{-2}{3}.$

     Vậy điểm cần tìm là $I\left(\frac{-2}{3};\frac{-2}{9}\right)$.

     c) Ta có bảng giá trị của $\left(P\right):y=-\frac{1}{2}{x}^2$ như sau:

     Do đó, đồ thị hàm số $\left(P\right):y=-\frac{1}{2}{x}^2$ đi qua các điểm $\left(-2;-2\right);\left(-1;-\frac{1}{2}\right);\left(0;0\right);$ $\left(1;-\frac{1}{2}\right);\left(2;-2\right)$.

     Đồ thị của đường thẳng $\left(d\right)$ đi qua hai điểm $A\left(-2;-2\right);B\left(1;-\frac{1}{2}\right)$.

     Do đó, ta có đồ thị như sau:

(P):y=−21​x2 và đường thẳng $\left(d\right):y=\frac{x}{2}-1$. a) Trong các điểm $A\left(-2;-2\right);B\left(1;-\frac{1}{2}\right);C\left(2;0\right);D\left(-1;-\frac{1}{2}\right)$, điểm nào thuộc cả $\left(P\right)$ và $\left(d\right)$. b) Tìm trên $\left(P\right)$ điểm có hoành độ gấp ba lần tung độ. c) Vẽ đồ thị $\left(P\right)$ và $\left(d\right)$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. (ảnh 1)">

     a) Với $m=2$, ta có: $x^2-2x+2=0$ hay ${\left(x-1\right)}^2+1=0$ (vô lí do ${\left(x-1\right)}^2+1>0$)

     Vậy với $m=2$ thì phương trình (1) vô nghiệm.

     b) Xét phương trình: $x^2-2x+m=0$ có ${\Delta }^{\prime }=1-m$.

     Để phương trình (1) có nghiệm thì ${\Delta }^{\prime }\ge 0$ hay $1-m\ge 0$ nên $m\le 1.$

     Vậy phương trình có nghiệm khi $m\le 1.$

     c) Phương trình: $x^2-2x+m=0$ có ${\Delta }^{\prime }=1-m$.

     Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ${\Delta }^{\prime }>0$ hay $1-m>0$ nên $m<1.$

     Theo hệ thức Viète, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1{x}_2=m\end{array}$.

     Lại có: $x_1^3{x}_2+x_1{x}_2^3-2x_1^2{x}_2^2=5$

                 $x_1{x}_2\left(x_1^2+x_2^2\right)-x_1^2{x}_2^2=5$

                 $x_1{x}_2\left(x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_2\right)-2x_1^2{x}_2^2=5$

                 $x_1{x}_2\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]-2x_1^2{x}_2^2=5$

Suy ra $4m-2m^2-2m^2=5$ hay $-4m^2+4m-5=0$

Suy ra $-\left(4m^2-4m+1\right)-4=0$ hay $-{\left(2m-1\right)}^2-4=0$.

Nhận thấy $-{\left(2m-1\right)}^2\le 0$ với mọi $m<1.$

Suy ra $-{\left(2m-1\right)}^2-4<0$ với mọi $m<1.$

Do đó, phương trình $-4m^2+4m-5=0$ vô nghiệm.

Vậy không có giá trị $m$ thỏa mãn.

1.

Oxy, cho điểm $A\left(3;3\right)$ và $B\left(-3\sqrt{2};0\right)$ như hình dưới đây. Hỏi phép quay ngược chiều tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $B$ có góc quay bằng bao nhiêu độ?      2. Cho đường tròn tâm $O,$ đường kính $AD.$ Hai dây cung $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$ $(E$ nằm bên trong đường tròn $\left(O\right)).$ Vẽ $EF$ vuông góc với $AD$ tại $F.$ Chứng minh rằng: a) Tứ giác $ABEF$ nội tiếp. b) $FE$ là tia phân giác của $\widehat{BFC}.$ c) Điểm $E$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BCF.$ (ảnh 2)">

Gọi $$H$$ là hình chiếu của $$A$$ trên $$Oy.$$ Ta có $A\left(3;3\right)$ nên $OH=AH=\left|3\right|=3.$

Xét $$\Delta AOH$$ vuông tại $$H,$$ theo định lí Pythagore ta có:

$$O{A}^2=O{H}^2+A{H}^2$$

Suy ra

Ta cũng có $\sin \widehat{AOH}=\frac{AH}{OA}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ Suy ra $\widehat{AOH}=45^{\circ }.$

Ta có điểm $B\left(-3\sqrt{2};0\right)$ nằm trên trục $$Ox$$ nên $OB=\left|-3\sqrt{2}\right|=3\sqrt{2}.$ Khi đó $OA=OB=3\sqrt{2}.$

Mặt khác, $\widehat{AOB}=\widehat{AOH}+\widehat{HOB}=45^{\circ }+90^{\circ }=135^{\circ }.$

Điều kiện xác định: $x\ge 2025$.

Ta có $\sqrt{x-2025}+3\sqrt{x+6}=3+\sqrt{\left(x-2025\right)\left(x+6\right)}$

$\sqrt{x-2025}+3\sqrt{x+6}-3-\sqrt{\left(x-2025\right)\left(x+6\right)}=0$

$3\left(\sqrt{x+6}-1\right)-\sqrt{x-2025}\left(\sqrt{\left(x+6\right)}-1\right)=0$

$\left(\sqrt{x+6}-1\right)\left(3-\sqrt{x-2025}\right)=0$

Do đó, $\sqrt{x+6}-1=0$ hoặc $3-\sqrt{x-2025}=0$.

Suy ra $x=-5$ (loại) hoặc $x=2034$ (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=2034$.