Đề thi giữa kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) – Đề 2 (có đáp án)

     1. a) Trong các phương trình trên, các phương trình bậc hai một ẩn là: ${\left(x-5\right)}^2-11=0$;

     $3x^2-2\sqrt{3}x+1=0.$

• Xét phương trình ${\left(x-5\right)}^2-11=0$ hay  $x^2-10x+14=0$ có $a=1;b=-10;c=14$.

• Xét phương trình $3x^2-2\sqrt{3}x+1=0$ có $a=3;b=-2\sqrt{3};c=1$.

b) • Giải phương trình ${\left(x-5\right)}^2-11=0$, ta được: ${\left(x-5\right)}^2=11$ hay ${\left(x-5\right)}^2={\left(\sqrt{11}\right)}^2$

     Suy ra $x-5=\sqrt{11}$ hoặc $x-5=-\sqrt{11}$.

     Do đó, $x=5+\sqrt{11}$ hoặc $x=5-\sqrt{11}$.

     Vậy nghiệm của phương trình là $\left\{5+\sqrt{11};5-\sqrt{11}\right\}$.

• Giải phương trình $3x^2-2\sqrt{3}x+1=0$, ta có: $3x^2-2\sqrt{3}x+1=0$ hay ${\left(\sqrt{3}x-1\right)}^2=0$.

     Suy ra $\sqrt{3}x-1=0$ nên $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ hay $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$

     Vậy nghiệm của phương trình là $\left\{\frac{\sqrt{3}}{3}\right\}.$

     2. Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh vườn lần lượt là $x(\mathrm{m})$ và $y(\mathrm{m})$ $\left(x>0,y>0\right).$

Vì mảnh vườn có chu vi là $70\mathrm{m}$ nên ta có phương trình $$2\left(x+y\right)=70$$ hay $x+y=35$.

Vì mảnh vườn có diện tích là $250{\mathrm{m}}^2$ nên ta có phương trình $xy=250$.

Ta có: $x+y=35$ và $xy=250$ và $35^2-4\cdot 250=225>0$ nên $x,y$ là nghiệm của phương trình:

$t^2-35t+250=0.$

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là $t_1=10$ (thỏa mãn); $t_2=25$ (thỏa mãn).

Mà chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng nên chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là $25\mathrm{m},10\mathrm{m}.$

Khu trồng hoa $BEDF$ có $BE=DF$ và $BE//DF$ nên có dạng một hình bình hành, do đó diện tích của khu trồng hoa là: $6\cdot 10=60({\mathrm{m}}^2).$

Số tiền chủ vườn phải trả cho người trồng hoa để trồng hết khu trồng hoa đó là:

$60\cdot 50000=3000000$ (đồng).

     a) Thay $x=1,y=-2$ vào $\left(P\right)$, ta được: $a=-2$.

     Vậy hàm số đi qua điểm $A\left(1;-2\right)$ là $y=-2x^2$.

     b) Ta có bảng giá trị của hàm số $y=-2x^2$ như sau:                       

     Do đó, đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ là $\left(-2;-8\right);\left(-1;-2\right);\left(0;0\right);$                                   $\left(1;-2\right);\left(2;-8\right)$.

     Ta có đồ thị hàm số như sau:

y=ax2(a=0) có đồ thị hàm số $\left(P\right)$. a) Xác định $a$ biết $\left(P\right)$ đi qua điểm $A\left(1;-2\right)$. Với giá trị $a$ vừa tìm được ở trên hãy: b) Vẽ đồ thị $\left(P\right)$ với $a$ vừa tìm được. c) Tìm điểm thuộc $\left(P\right)$ có hoành độ bằng $\frac{2}{3}.$ (ảnh 1)">

     c) Thay $x=\frac{2}{3}$ vào $\left(P\right)$, ta có: $y=-2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ hay $y=\frac{-8}{9}$.

     Do đó, điểm thuộc $\left(P\right)$ có hoành độ là $\frac{2}{3}$ đó là $\left(\frac{2}{3};\frac{-8}{9}\right)$.

     a) Với $m=2,$ ta có: $\left(2.2-3\right)x^2-2\left(2-2\right)x-1=0$ hay $x^2-1=0$ nên $x^2=1$.

     Suy ra $x=1$ hoặc $x=-1$.

     Vậy với $m=2,$ phương trình có nghiệm là $\left\{-1;1\right\}$.

     b) Xét phương trình \(\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\({\left( {m - 1} \right)^2} > 0\)\), ta có:

     • Với $2m-3=0$ thì $m=\frac{3}{2}$ thì ta được: $x-1=0$, suy ra $x=1$. (1)

     • Với $2m-3\ne 0$ thì $m\ne \frac{3}{2}$ ta được phương trình bậc hai $\left(2m-3\right)x^2-2\left(m-2\right)x-1=0$

     Có ${\Delta }^{\prime }={\left[-\left(m-2\right)\right]}^2+\left(2m-3\right)=m^2-2m+1={\left(m-1\right)}^2\ge 0$, với mọi $m\in \mathbb{R}$. (2)

     Từ (1) và (2), suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi $m\in \mathbb{R}$.

c) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ${\Delta }^{\prime }>0$ và $2m-3\ne 0$, suy ra  và $m\ne \frac{3}{2}$, do đó $m\ne 1$ và $m\ne \frac{3}{2}$.

     Theo hệ thức Viète, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{2\left(m-2\right)}{2m-3}\\ x_1{x}_2=\frac{-1}{\left(2m-3\right)}\end{array}$.

     Mà theo đề, ta có: $2x_1+3x_2=5$ suy ra $x_1=\frac{5-3x_2}{2}$.

     Thay $x_1=\frac{5-3x_2}{2}$ vào $x_1+x_2=\frac{2\left(m-2\right)}{2m-3}$, ta được: $\frac{5-3x_2}{2}+x_2=\frac{2\left(m-2\right)}{2m-3}$.

     Suy ra $5-x_2=\frac{4\left(m-2\right)}{2m-3}$ nên $x_2=5-\frac{4\left(m-2\right)}{2m-3}=\frac{6m-7}{2m-3}$.

     Do đó, $x_1=\frac{5-3x_2}{2}=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}{x}_2=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}.\frac{6m-7}{2m-3}=\frac{-8m+6}{2\left(2m-3\right)}=\frac{-4m+3}{2m-3}$.

Mà $x_1{x}_2=\frac{-1}{\left(2m-3\right)}$ nên $\frac{6m-7}{\left(2m-3\right)}.\frac{\left(-4m+3\right)}{\left(2m-3\right)}=\frac{-1}{2m-3}$.

Suy ra $\left(6m-7\right).\left(-4m+3\right)=-\left(2m-3\right)$

Do đó, $24m^2-46m+21=2m-3$ hay $24m^2-48m+24=0$

Suy ra $m^2-2m+1=0$ hay ${\left(m-1\right)}^2=0$.

Suy ra $m=1$ (loại).

Vậy không có giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

1.

$Oxy$ cho $A\left(-2;-2\right).$ Phép quay thuận chiều $$90^{\circ }$$ tâm $$O$$ biến điểm $$A$$ thành điểm $$I.$$ Khi đó, hãy tìm tọa độ của điểm $I.$      2. Cho hai đường tròn $\left(O\right)$ và $\left(O^{\prime }\right)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B.$ Đường thẳng $AO$ cắt hai đường tròn $\left(O\right)$ và $\left(O^{\prime }\right)$ lần lượt tại hai điểm $C,E$ (khác điểm $A).$ Đường thẳng $A{O}^{\prime }$ cắt hai đường tròn $\left(O\right)$ và $\left(O^{\prime }\right)$ lần lượt tại hai điểm $D,F$ (khác điểm $A).$ Chứng minh: a) $C,B,F$ thẳng hàng. b) Tứ giác $CDEF$ nội tiếp đường tròn. c) $A$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BDE.$ (ảnh 1)">

Gọi $$H$$ là hình chiếu của $$A$$ trên $$Ox.$$ Ta có $A\left(-2;-2\right)$ nên $$OH=AH=\left|--2\right|=2.$$

Do đó $$\Delta AOH$$ vuông cân tại $$H,$$ nên $\widehat{AOH}=45^{\circ }.$

Xét $$\Delta AOH$$ vuông tại $$H,$$ theo định lí Pythagore ta có:

$$O{A}^2=O{H}^2+A{H}^2$$

Suy ra $OA=\sqrt{O{H}^2+A{H}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$

Gọi $$I$$ là điểm đối xứng với $$A$$ qua $$Ox,$$ do đó $$I\left(--2;2\right).$$

Như vậy, phép quay thuận chiều $$90^{\circ }$$ tâm $$O$$ biến điểm $A\left(-2;-2\right)$ thành điểm $$I\left(--2;2\right).$$

   2.

$Oxy$ cho $A\left(-2;-2\right).$ Phép quay thuận chiều $$90^{\circ }$$ tâm $$O$$ biến điểm $$A$$ thành điểm $$I.$$ Khi đó, hãy tìm tọa độ của điểm $I.$      2. Cho hai đường tròn $\left(O\right)$ và $\left(O^{\prime }\right)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B.$ Đường thẳng $AO$ cắt hai đường tròn $\left(O\right)$ và $\left(O^{\prime }\right)$ lần lượt tại hai điểm $C,E$ (khác điểm $A).$ Đường thẳng $A{O}^{\prime }$ cắt hai đường tròn $\left(O\right)$ và $\left(O^{\prime }\right)$ lần lượt tại hai điểm $D,F$ (khác điểm $A).$ Chứng minh: a) $C,B,F$ thẳng hàng. b) Tứ giác $CDEF$ nội tiếp đường tròn. c) $A$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BDE.$ (ảnh 2)">

a)  Xét đường tròn $\left(O\right)$ có $AC$ là đường kính nên $\widehat{ABC}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$ có $AF$ là đường kính nên $\widehat{ABF}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $\widehat{CBF}=\widehat{ABC}+\widehat{ABF}=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }.$

Suy ra ba điểm $C,B,F$ thẳng hàng.

b) Chứng minh tương tự câu 1, ta có $\widehat{ADC}=90^{\circ }$

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\left(O\right))$ và $\widehat{AEF}=90^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\left(O^{\prime }\right)).$

Do đó $\widehat{CDF}=\widehat{CEF}=90^{\circ }$ nên đường tròn ngoại tiếp các tam giác vuông $CDF,CEF$ có tâm là trung điểm của cạnh huyền $CF$ hay các điểm $C,D,E,F$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $CF.$

Vậy tứ giác $CDEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $CF.$

c) Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$ nên $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AD)$

Tứ giác $ABFE$ nội tiếp đường tròn $\left(O^{\prime }\right)$ nên $\widehat{ABE}=\widehat{AFE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AE)$

Tứ giác $CDEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $CF$ nên $\widehat{DCE}=\widehat{DFE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $DE)$ hay $\widehat{ACD}=\widehat{AFE}$.

Từ đó suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ABE}$ hay $BA$ là tia phân giác của góc $DBE.$

Chứng minh tương tự, ta có $\widehat{CED}=\widehat{BEC}\left(=\widehat{CFD}\right)$ hay $EC$ là tia phân giác của góc $BED.$

Xét tam giác $BDE$ có $BA$ và $EC$ là hai đường phân giác của tam giác, chúng cắt nhau tại $A$ nên $A$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BDE.$

Điều kiện: $x\ge -1.$

Ta có: $x^2-2x-1=\left(x^2+1\right)-2\left(x+1\right)$

Đặt $a=\sqrt{x^2+1}\left(a>0\right)$, $b=\sqrt{x+1}\left(b>0\right)$.

Từ (1) ta có phương trình $a^2-2b^2=ab$ nên $a^2-2b^2-ab=0$

Suy ra $\left(a+b\right)\left(a-2b\right)=0$.

Vì $a>0,b>0$ nên $a+b>0$.

Do đó, $a-2b=0$ hay $a=2b$.

Suy ra $\sqrt{x^2+1}=2\sqrt{x+1}$ , do đó $x^2+1=4\left(x+1\right)$

Suy ra $x^2-4x-3=0$.

Tính được $x_1=2+\sqrt{7}$ (thỏa mãn) và $x_2=2-\sqrt{7}$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $\left\{2+\sqrt{7};2-\sqrt{7}\right\}$.