Đề thi giữa kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

     1. a) Trong các phương trình trên, phương trình bậc hai một ẩn là: $-x^2-7x-6=0;$$x^2-2\sqrt{2}x+2=0$.

     • Với phương trình $-x^2-7x-6=0,$ ta có $a=-1,b=-7,c=-6$.

     • Với phương trình $x^2-2\sqrt{2}x+2=0$, ta có $a=1,b=2\sqrt{2},c=2$.

     b) • Giải phương trình $-x^2-7x-6=0,$ ta thấy $a-b+c=1-\left(-7\right)+6=0$ nên phương trình có hai nghiệm $x=-1$ và $x=-6$.

Vậy phương trình có nghiệm là $\left\{-1;-6\right\}$.

     • Giải phương trình $x^2-2\sqrt{2}x+2=0$, ta được: $x^2-2\sqrt{2}x+2=0$ hay ${\left(x-\sqrt{2}\right)}^2=0$

Suy ra $x-\sqrt{2}=0$ nên $x=\sqrt{2}$.

Vậy phương trình có nghiệm là $\left\{\sqrt{2}\right\}$.

     2. Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là $x$ (g/cm3) $\left(x>1\right).$

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là $x-1$ (g/cm3).

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: $\frac{880}{x}$ (cm3).

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: $\frac{858}{x-1}$ (cm3).

Theo đề bài, thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích của miếng thứ hai là 10 cm3 nên ta có phương trình: $\frac{858}{x-1}-\frac{880}{x}=10.$

Giải phương trình:

$\frac{858}{x-1}-\frac{880}{x}=10$

$\frac{858x}{x\left(x-1\right)}-\frac{880\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}=\frac{10x\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}$

$858x-880\left(x-1\right)=10x\left(x-1\right)$

$858x-880x+880=10x^2-10x$

$10x^2+12x-880=0$

$5x^2+6x-440=0$

Giải phương trình trên ta được: $x_1=-10;x_2=8,8.$

Ta thấy chỉ có giá trị $x_2=8,8$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là $8,8$ g/cm3; khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là $8,8-1=7,8$ (g/cm3).

     a) Thay $x=-\sqrt{3},y=1$ vào hàm số, ta được: $\left(m-1\right).{\left(\sqrt{3}\right)}^2=1$ hay $m-1=\frac{1}{3}$,

suy ra $m=\frac{4}{3}$.

Vậy $m=\frac{4}{3}$ thì được đồ thị hàm số $\left(P\right):y=\frac{4}{3}{x}^2$ đi qua điểm $A\left(-\sqrt{3};1\right).$

     b) Ta có bảng giá trị của hàm số $\left(P\right):y=\frac{4}{3}{x}^2$ là

Do đó, đồ thị hàm số $\left(P\right):y=\frac{4}{3}{x}^2$ đi qua các điểm $\left(-2;\frac{16}{3}\right);\left(-1;\frac{4}{3}\right);\left(0;0\right);\left(2;\frac{16}{3}\right);$$\left(1;\frac{4}{3}\right).$

Từ đây, ta có đồ thị như sau:

y=(m−1)x2(m=1) có đồ thị $\left(P\right).$ a) Xác định $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left(-\sqrt{3};1\right).$ Với giá trị $m$ vừa tìm được ở trên, hãy: b) Hãy vẽ đồ thị $\left(P\right).$ c) Tìm các điểm trên $\left(P\right)$ có hoành độ bằng $3.$ d) Tìm các điểm trên $\left(P\right)$ có tung độ gấp đôi hoành độ. (ảnh 1)">

     c) Thay $x=3$ vào hàm số $\left(P\right):y=\frac{4}{3}{x}^2$, ta được: $y=\frac{4}{3}.3^2=12$.

Vậy điểm trên $\left(P\right)$ có hoành độ bằng $3$ là $\left(3;12\right)$.

     d) Gọi điểm cần tìm là $I\left(x_0;2x_0\right)$.

Thay vào $\left(P\right):y=\frac{4}{3}{x}^2$, ta có: $2x_0=\frac{4}{3}{x}_0^2$ hay $\frac{x_0}{x_0^2}=\frac{2}{3}$ nên $\frac{1}{x_0}=\frac{2}{3}$ suy ra $x_0=\frac{3}{2}$.

Vậy điểm trên $\left(P\right)$ có tung độ gấp đôi hoành độ là $I\left(\frac{3}{2};3\right)$.

     a) Với $m=2$, ta có: $x^2-2x+2=0$ hay ${\left(x-1\right)}^2+1=0$ (vô lí do ${\left(x-1\right)}^2+1>0$)

     Vậy với $m=2$ thì phương trình (1) vô nghiệm.

     b) Xét phương trình: $x^2-2x+m=0$ có ${\Delta }^{\prime }=1-m$.

     Để phương trình (1) có nghiệm thì ${\Delta }^{\prime }\ge 0$ hay $1-m\ge 0$ nên $m\le 1.$

     Vậy phương trình có nghiệm khi $m\le 1.$

     c) Phương trình: $x^2-2x+m=0$ có ${\Delta }^{\prime }=1-m$.

     Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ${\Delta }^{\prime }>0$ hay $1-m>0$ nên $m<1.$

     Theo hệ thức Viète, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1{x}_2=m\end{array}$.

     Lại có: $x_1^3{x}_2+x_1{x}_2^3-2x_1^2{x}_2^2=5$

                 $x_1{x}_2\left(x_1^2+x_2^2\right)-x_1^2{x}_2^2=5$

                 $x_1{x}_2\left(x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_2\right)-2x_1^2{x}_2^2=5$

                 $x_1{x}_2\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2\right]-2x_1^2{x}_2^2=5$

Suy ra $4m-2m^2-2m^2=5$ hay $-4m^2+4m-5=0$

Suy ra $-\left(4m^2-4m+1\right)-4=0$ hay $-{\left(2m-1\right)}^2-4=0$.

Nhận thấy $-{\left(2m-1\right)}^2\le 0$ với mọi $m<1.$

Suy ra $-{\left(2m-1\right)}^2-4<0$ với mọi $m<1.$

Do đó, phương trình $-4m^2+4m-5=0$ vô nghiệm.

Vậy không có giá trị $m$ thỏa mãn.

  1. Gọi $$H$$ là hình chiếu của $$A$$ trên $$Ox.$$ Ta có $A\left(-2;-2\right)$ nên $$OH=AH=\left|--2\right|=2.$$

$Oxy$ cho $A\left(-2;-2\right).$ Phép quay thuận chiều $$90^{\circ }$$ tâm $$O$$ biến điểm $$A$$ thành điểm $$I.$$ Khi đó, hãy tìm tọa độ của điểm $I.$ 2. Cho tứ giác $ABCD$ $\left(AD//BC\right)$ nội tiếp đường tròn. Biết $\hat{A}=80^{\circ }$ và $\widehat{ABD}=60^{\circ }.$ Góc $BDC$ có số đo là bao nhiêu độ? (ảnh 1)">

Do đó $$\Delta AOH$$ vuông cân tại $$H,$$ nên $\widehat{AOH}=45^{\circ }.$

Xét $$\Delta AOH$$ vuông tại $$H,$$ theo định lí Pythagore ta có: $$O{A}^2=O{H}^2+A{H}^2$$

Suy ra $OA=\sqrt{O{H}^2+A{H}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$

Gọi $$I$$ là điểm đối xứng với $$A$$ qua $$Ox,$$ do đó $$I\left(--2;2\right).$$

Ta cũng chứng minh được $\widehat{HOI}=45^{\circ }$ và $OI=2\sqrt{2}.$

Như vậy, phép quay thuận chiều $$90^{\circ }$$ tâm $$O$$ biến điểm $A\left(-2;-2\right)$ thành điểm $$I\left(--2;2\right).$$

2. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp nên $$\hat{A}+\hat{C}=180^{\circ }$$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng $180^{\circ }).$ Suy ra $$\hat{C}=180^{\circ }-\hat{A}=180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ }.$$ Xét $\Delta ABD$ có $\hat{A}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=180^{\circ }$ (tổng ba góc của một tam giác)

$Oxy$ cho $A\left(-2;-2\right).$ Phép quay thuận chiều $$90^{\circ }$$ tâm $$O$$ biến điểm $$A$$ thành điểm $$I.$$ Khi đó, hãy tìm tọa độ của điểm $I.$ 2. Cho tứ giác $ABCD$ $\left(AD//BC\right)$ nội tiếp đường tròn. Biết $\hat{A}=80^{\circ }$ và $\widehat{ABD}=60^{\circ }.$ Góc $BDC$ có số đo là bao nhiêu độ? (ảnh 2)">

Suy ra $$\widehat{ADB}=180^{\circ }-\left(\hat{A}+\widehat{ABD}\right)=180^{\circ }-\left(80^{\circ }+60^{\circ }\right)=40^{\circ }$$.

Vì $$AD//BD$$ nên $$\widehat{DBC}=\widehat{ADB}=40^{\circ }$$ (so le trong).

Xét $\Delta BCD$ có $\hat{C}+\widehat{CBD}+\widehat{BDC}=180^{\circ }$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{BDC}=180^{\circ }-\left(\hat{C}+\widehat{CBD}\right)=180^{\circ }-\left(100^{\circ }+40^{\circ }\right)=40^{\circ }.$