Đề thi giữa kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) – Đề 1 (có đáp án)

     1. a) Xét các phương trình trên, ta có phương trình bậc hai một ẩn là: $-x^2-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=0;$

$-3x^2+4\sqrt{6}x-4=0.$

     • Với phương trình $-x^2-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=0$ có $a=-1,b=-\frac{3}{2},c=-\frac{1}{2}.$

     • Với phương trình $-3x^2+4\sqrt{6}x-4=0$ có $a=-3,b=-4\sqrt{6},c=-4.$

     b) Giải phương trình:

     • Ta có: $-x^2-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=0$ hay $-2x^2-3x-1=0$ có $a-b+c=-2-\left(-3\right)+\left(-1\right)=0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm là $x=-1$ và $x=-\frac{1}{2}$.

Vậy nghiệm của phương trình $-x^2-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}=0$ là $\left\{-1;-\frac{1}{2}\right\}$.

     • Ta có: $-3x^2+4\sqrt{6}x-4=0$ hay $-{\left(\sqrt{3}x-2\right)}^2=0$ suy ra $\sqrt{3}x-2=0$ nên $x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Vậy phương trình $-3x^2+4\sqrt{6}x-4=0$ có nghiệm là $\left\{\frac{2\sqrt{3}}{3}\right\}.$

2. Gọi $x$ (g/cm3) là khối lượng riêng của chất lỏng I $\left(x>0,2\right).$

Khi đó, khối lượng riêng của chất lỏng II là $x-0,2$ (g/cm3).

Thể tích của chất lỏng I là: $\frac{8}{x}$ (cm3).

Thể tích của chất lỏng II là: $\frac{6}{x-0,2}$ (cm3).

Khối lượng hỗn hợp sau khi trộn là: $8+6=14$ (g).

Thể tích của hỗn hợp sau khi trộn là: $\frac{14}{0,7}=20$ (cm3).

Ta có phương trình: $\frac{8}{x}+\frac{6}{x-0,2}=20$.

Giải phương trình:

$\frac{8}{x}+\frac{6}{x-0,2}=20$

$\frac{8\left(x-0,2\right)}{x\left(x-0,2\right)}+\frac{6x}{x\left(x-0,2\right)}=\frac{20x\left(x-0,2\right)}{x\left(x-0,2\right)}$

$8\left(x-0,2\right)+6x=20x\left(x-0,2\right)$

$8x-1,6+6x=20x^2-4x$

$20x^2-18x+1,6=0$

$50x^2-45x+4=0$

Phương trình có $\Delta ={\left(-45\right)}^2-4\cdot 50\cdot 4=1225>0$ và $\sqrt{\Delta }=35.$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{45+35}{2\cdot 50}=0,8$ (thỏa mãn); $x_2=\frac{45-35}{2\cdot 50}=0,1$ (không thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng I là $0,8$ g/cm3; khối lượng riêng của chất lỏng I là $0,8-0,2=0,6$ (g/cm3).

     a) Thay $x=1,y=-2$ vào $\left(P\right)$, ta được: $a=-2$.

     Vậy hàm số đi qua điểm $A\left(1;-2\right)$ là $y=-2x^2$.

     b) Ta có bảng giá trị của hàm số $y=-2x^2$ như sau:                       

     Do đó, đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ là $\left(-2;-8\right);\left(-1;-2\right);\left(0;0\right);$                                   $\left(1;-2\right);\left(2;-8\right)$.

     Ta có đồ thị hàm số như sau:

y=ax2(a=0) có đồ thị hàm số $\left(P\right)$. a) Xác định $a$ biết $\left(P\right)$ đi qua điểm $A\left(1;-2\right)$. Với giá trị $a$ vừa tìm được ở trên hãy: b) Vẽ đồ thị $\left(P\right)$ với $a$ vừa tìm được. c) Tìm điểm thuộc $\left(P\right)$ có hoành độ bằng $\frac{2}{3}.$ d) Tìm điểm trên $\left(P\right)$ cách đều hai trục tọa độ. (ảnh 1)">

     c) Thay $x=\frac{2}{3}$ vào $\left(P\right)$, ta có: $y=-2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ hay $y=\frac{-8}{9}$.

     Do đó, điểm thuộc $\left(P\right)$ có hoành độ là $\frac{2}{3}$ đó là $\left(\frac{2}{3};\frac{-8}{9}\right)$.

     d) Nhận thấy điểm cách đều hai trục tọa độ nằm trên đường thẳng $y=x$ hoặc $y=-x.$

     Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left(P\right):y=-2x^2$ và đường thẳng $y=x$, ta có:

     $-2x^2=x$ nên $-2x^2-x=0$ hay $x\left(-2x-1\right)=0$. Do đó, $x=0$ hoặc $x=\frac{-1}{2}$.

     • Với $x=0$ thì $y=0$, suy ra điểm $O\left(0;0\right)$.

     • Với $x=-\frac{1}{2}$ thì $y=\frac{-1}{2}$, suy ra điểm $A\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$.

     Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left(P\right):y=-2x^2$ và đường thẳng $y=-x$ ta có:

     $-2x^2=-x$ nên $-2x^2+x=0$ hay $x\left(-2x+1\right)=0$. Do đó, $x=0$ hoặc $x=\frac{1}{2}.$

     • Với $x=0$ thì $y=0$, suy ra điểm $O\left(0;0\right)$.

     • Với $x=\frac{1}{2}$ thì $y=\frac{-1}{2}$, suy ra điểm $B\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$.

Vậy có điểm $A\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$; $B\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$ nằm trên $\left(P\right)$ cách đều hai trục tọa độ.

     a) Với $m=\frac{1}{2}$, ta có: $x^2-\left(2.\frac{1}{2}-1\right)x+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-7=0$ suy ra $x^2-\frac{27}{4}=0$ hay $x^2=\frac{27}{4}$.

Do đó, $x=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ hoặc $x=\frac{-3\sqrt{3}}{2}$.

Vậy với $m=\frac{1}{2}$ thì phương trình có nghiệm là $\left\{\frac{3\sqrt{3}}{2};\frac{-3\sqrt{3}}{2}\right\}$.

     b) Xét phương trình $x^2-\left(2m-1\right)x+m^2-7=0$ có :

     $\Delta ={\left[-\left(2m-1\right)\right]}^2-4\left(m^2-7\right)=-4m+29$.

Để phương trình có nghiệm kép thì $\Delta =0$ hay $-4m+29=0$, do đó $m=\frac{29}{4}$.

Vậy phương trình có nghiệm kép khi $m=\frac{29}{4}$.

     c) Xét phương trình $x^2-\left(2m-1\right)x+m^2-7=0$ $\left(\ast \right)$

Ta có: $\Delta ={\left(2m-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(m^2-7\right)=4m^2-4m+1-4m^2+28=-4m+29$.

Để phương trình $\left(\ast \right)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì $\Delta >0,$ tức là $-4m+29>0$ hay $m<\frac{29}{4}.$

Theo định lí Viète, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-1\left(1\right)\\ x_1{x}_2=m^2-7\left(2\right)\end{array}$

Theo bài, $4{x_1}^2-x_1-3x_2^2+x_2=x_1{x}_2$

$4{x_1}^2-4x_2^2-x_1+x_2^2+x_2-x_1{x}_2=0$

$$4\left({x_1}^2-x_2^2\right)+x_2\left(x_2-x_1\right)+x_2-x_1=0$$

$4\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)+\left(x_2-x_1\right)\left(x_2+1\right)=0$

$\left(x_1-x_2\right)\left(4x_1+4x_2-x_2-1\right)=0$

$\left(x_1-x_2\right)\left(4x_1+3x_2-1\right)=0$

Xét trường hợp 1: $x_1-x_2=0$ suy ra $x_1=x_2$ (loại do $x_1\ne x_2).$

Xét trường hợp 2: $4x_1+3x_2-1=0$ suy ra $x_1+3\left(x_1+x_2\right)-1=0$ $\left(\ast \ast \right)$

Thay $x_1+x_2=2m-1$ vào $\left(\ast \ast \right)$ ta có: $x_1+3\left(2m-1\right)-1=0$ hay $x_1=-6m+4$.

Thay $x_1=-6m+4$ vào $\left(1\right)$ ta được $-6m+4+x_2=2m-1$, suy ra $x_2=8m-5.$

Thay $x_1=-6m+4$ và $x_2=8m-5$ vào $\left(2\right)$ ta được:

$\left(-6m+4\right)\left(8m-5\right)=m^2-7$

$-48m^2+30m+32m-20=m^2-7$

$-49m^2+62m-13=0$

$m=1$ (thỏa mãn); $m=\frac{13}{49}$ (thỏa mãn).

 Vậy với $m=\left\{1;\frac{13}{49}\right\}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

1. Gọi $$H$$ là hình chiếu của $$A$$ trên $$Oy.$$ Ta có $A\left(2;3\right)$ nên $AH=\left|2\right|=2$ và $$OH=\left|3\right|=3.$$

Oxy, cho điểm $A\left(2;3\right).$ Thực hiện phép quay $90^{\circ }$ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ. Xác định tọa độ của điểm $A$ sau khi quay.      2. Người ta muốn dựng khung cổng hình chữ nhật rộng $4\mathrm{m}$ và cao $3\mathrm{m},$ bên ngoài được bao bởi một khung thép dạng nửa đường tròn. Tính chiều dài (đơn vị mét) của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó. (ảnh 2)">

Xét $$\Delta AOH$$ vuông tại $$H,$$ theo định lí Pythagore ta có:

$$O{A}^2=O{H}^2+A{H}^2$$

Suy ra $OA=\sqrt{O{H}^2+A{H}^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}.$

Ta cũng có $\sin \widehat{AOH}=\frac{AH}{OA}=\frac{2}{\sqrt{13}}.$

Giả sử phép quay $90^{\circ }$ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ biến điểm $A$ (ở góc phần tư thứ I) thành điểm $B$.

Khi đó, điểm $B$ nằm ở góc phần tư thứ II và $OB=OA=\sqrt{13},\widehat{AOB}=90^{\circ }.$

Ta có $\widehat{AOB}=\widehat{AOH}+\widehat{BOH}=90^{\circ }$ nên $\cos \widehat{BOH}=\sin \widehat{AOH}=\frac{2}{\sqrt{13}}.$

Xét $\Delta OBK$ vuông tại $K$ (gọi $K$ là hình chiếu của điểm $B$ trên $Oy)$ ta có:

$OK=OB\cdot \cos \widehat{BOH}=\sqrt{13}\cdot \frac{2}{\sqrt{13}}=2.$

Từ đó, ta có tung độ của điểm $B$ là $2$ (do $B$ nằm ở góc phần tư thứ II).

Tương tự, ta tìm được hoành độ của điểm $B$ là $-3.$

Như vậy, phép quay ngược chiều $$90^{\circ }$$ tâm $$O$$ biến điểm $A\left(2;3\right)$ thành điểm $$B\left(--3;2\right).$$

2. Giả sử $$ABCD$$ là khung cổng hình chữ nhật $$(AB=CD=3\mathrm{m}$$ và $$AD=BC=4\mathrm{m})$$ nội tiếp nửa đường tròn $$\left(O\right)$$ (hình vẽ).

Oxy, cho điểm $A\left(2;3\right).$ Thực hiện phép quay $90^{\circ }$ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ. Xác định tọa độ của điểm $A$ sau khi quay.      2. Người ta muốn dựng khung cổng hình chữ nhật rộng $4\mathrm{m}$ và cao $3\mathrm{m},$ bên ngoài được bao bởi một khung thép dạng nửa đường tròn. Tính chiều dài (đơn vị mét) của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó. (ảnh 3)">

Gọi $$H$$ là trung điểm của $$CD.$$

Khi đó $HB=HC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 4=2(\mathrm{m})$ và $$H$$ nằm trên đường trung trực của $$BC.$$

Vì $$B,C$$ cùng nằm trên nửa đường tròn $$\left(O\right)$$ nên $$OB=OC,$$ suy ra $$O$$ nằm trên đường trung trực của $$BC.$$

Do đó $$OH$$ là đường trung trực của đoạn thẳng $$BC,$$ nên $$OH\perp BC.$$

Mà $$BC//AD$$ (do $$ABCD$$ là hình chữ nhật) nên $$OH\perp AD.$$

Xét tứ giác $$ABHO$$ có $\widehat{OAB}=\widehat{AOH}=\widehat{OHB}=90^{\circ }$ nên $$ABHO$$ là hình chữ nhật.

Do đó $$OH=AB=3(\mathrm{m}).$$

Xét $\Delta OBH$ vuông tại $$H,$$ theo định lí Pythagore, ta có: $O{B}^2=O{H}^2+H{B}^2=3^2+2^2=13.$

Do đó $OB=\sqrt{13}\mathrm{m}.$

Nửa chu vi đường tròn $$\left(O\right)$$ là: $$\pi \sqrt{13}(\mathrm{m}).$$