Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới – Đề 3 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Đáp án:               a) Đúng.     b) Sai.        c) Sai.        d) Đúng.

a) Đúng. Thay $x=5$ và $y=-1$ vào phương trình đã cho, ta được: $$5+2\cdot \left(-1\right)=3.$$

Suy ra cặp số $$\left(5;-1\right)$$ là một nghiệm của phương trình $$x+2y=3.$$ Do đó ý a) là đúng.

b) Sai. Phương trình $$x+2y=3$$ là phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó ý b) là sai.

c) Sai. Viết lại phương trình $$x+2y=3$$ thành $y=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}x$, khi đó tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng $y=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}x$. Do đó ý c) là sai.

d) Đúng. Phương trình $$x+2y=3$$ là phương trình bậc nhất hai ẩn, có vô số nghiệm.

Viết lại phương trình $$x+2y=3$$ thành $x=3-2y$.

Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình đó là: $\left(3-2y;y\right)$ với $y\in \mathbb{R}$ tùy ý. Do đó ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án:               a) Sai.        b) Sai.        c) Đúng.     d) Đúng.

a) Sai. Vì $a<b$ suy ra $4a<4b$ hay $4a-2<4b-2$ nên ý a) là sai.

b) Sai. Vì $a<b$ suy ra $-3a>-3b$ hay $6-3a>6-3b$ nên ý b) là sai.

c) Đúng. Vì $a<b$ suy ra $4a<4b$ nên $4a+1<4b+1<4b+5$ hay $4a+1<4b+5$ nên ý c) là đúng.

d) Đúng. Vì $a<b$ suy ra $-2a>-2b$ nên $7-2a>7-2b>4-2b$ hay $7-2a>4-2b$ nên ý d) đúng.

Hướng dẫn giải

Gọi $$x,y$$ (bước) lần lượt là số bước mà anh Sơn và chị Hà đi bộ trong 1 phút$$\left(x,y\in \mathbb{N}\ast ;x>y\right).$$

Trong 2 phút, anh Sơn đi được $2x$ (bước); chị Hà đi được $2y$ (bước).

Nếu đi cùng trong 2 phút thì anh Sơn đi nhiều hơn chị Hà 20 bước nên

$2x-2y=20$ hay $x-y=10$ $$\left(1\right)$$

Trong 3 phút anh Sơn đi được $3x$ (bước)

Trong 5 phút chị Hà đi được $5y$ (bước)

Do chị Hà đi trong 5 phút thì nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước nên

$$5y-3x=160$$ hay $$-3x+5y=160$$ $$\left(2\right)$$

Từ $$\left(1\right)$$ và $$\left(2\right)$$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x-y=10\\ -3x+5y=160\end{array}$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $3,$ ta được hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3x-3y=30\\ -3x+5y=160\end{array}.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: $2y=190$ nên $y=95$ (thỏa mãn).

Thay $y=95$ vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu, ta được:

$$x-95=10$$ suy ra $x=10+95=105$ (thỏa mãn).

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước anh Sơn đi là $105\cdot 60=6300$ (bước)

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước chị Hà đi là $95\cdot 60=5700$ (bước)

Vậy anh Sơn đạt được mục tiêu đề ra, còn chị Hà thì không đạt mục tiêu đề ra.

B. TỰ LUẬN

Áp dụng định lí Pythagore, ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

$A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=10^2-6^2=64$, suy ra $AC=8\mathrm{cm}$.

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CBA$ có $\widehat{AHB}=\widehat{BAC}=90^{\circ };\hat{B}$ chung.

Do đó .

Suy ra $\frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}$ hay $A{B}^2=BH.BC$ nên $BH=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{6^2}{10}=3,6\left(\mathrm{cm}\right)$.

Vậy $BC=10\mathrm{cm},AC=8\mathrm{cm},BH=3,6\mathrm{cm}.$

2. Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là $CD.$

Xét $\Delta BAC$ vuông tại $A$ có $AC=75\cot \widehat{BCA}=75\cot 45^{\circ }=75\left(\mathrm{m}\right)$.

Xét $\Delta DAB$ vuông tại $A$ có $AD=75\cot \widehat{BDA}=75\cot 30^{\circ }=75\sqrt{3}\left(\mathrm{m}\right)$.

Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là:

$CD=AD-AC=75\sqrt{3}-75\approx 55\left(\mathrm{m}\right)$.

Vậy chiếc thuyền đi được khoảng 55 mét giữa hai lần quan sát.

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi $x,y$ lần lượt là độ dài hai cạnh của mảnh vườn hình chữ nhật $\left(x>0,y>0\right).$

Số mét rào cần rào ba cạnh còn lại của mảnh vườn là: $2x+y$ (mét).

Diện tích mảnh vườn là: $xy$ (m²).

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $$ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\left(\ast \right)$$ với $a,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-ab=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{2}$

Với mọi $a,b$ là các số không âm, ta có:

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$ nên $\frac{{\left(a-b\right)}^2}{2}\ge 0$ suy ra ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ ta được:

$$xy=2\cdot x\cdot \frac{y}{2}\le 2\cdot {\left(\frac{x+\frac{y}{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{2x+y}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{100}{2}\right)}^2=1250({\mathrm{m}}^2).$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{y}{2}$ và $2x+y=100$ hay $2\cdot \frac{y}{2}+y=100$ tức là $y=50$, $x=25.$

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là $1250{\mathrm{m}}^2.$