Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) – Đề 4 (có đáp án)

a) Với $m\ne 0,$ ta viết phương trình $x+my=n$ về dạng $y=-\frac{1}{m}x+\frac{n}{m}$.

Do đó đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{m}x+\frac{n}{m}$ biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn $x+my=n$.

Nghiệm tổng quát của phương trình $x+my=n$ là $\left(x;-\frac{1}{m}x+\frac{n}{m}\right)$ với $x\in \mathbb{R}$ tùy ý và $m\ne 0.$

b) Để hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left(-1;1\right)$ thì $x=-1,y=1$ thỏa mãn hệ phương trình đó.

Thay $x=-1,y=1$ vào hệ phương trình $\{\begin{array}{l}mx-ny=1\\ x+my=n\end{array}$ ta được:

$\{\begin{array}{l}m\cdot \left(-1\right)-n\cdot 1=1\\ \left(-1\right)+m\cdot 1=n\end{array}$ hay $\{\begin{array}{l}-m-n=1\\ m-n=1.\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$-2n=2$ suy ra $n=-1.$

Thay $n=-1$ vào phương trình $m-n=1,$ ta được:

$m-\left(-1\right)=1,$ suy ra $m=0$ (không thỏa mãn $m\ne 0).$

Vậy không có cặp số $\left(m;n\right)$ nào thỏa mãn.

a) $$\left(2x+9\right)\left(\frac{2}{3}x-5\right)=0$$

$2x+9=0$ hoặc $$\frac{2}{3}x-5=0$$

$2x=-9$ hoặc $\frac{2}{3}x=5$

$x=-\frac{9}{2}$ hoặc $x=\frac{15}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=-\frac{9}{2};x=\frac{15}{2}$.

a) $\frac{15-6x}{3}>5$

$\frac{15-6x}{3}\cdot 3>5\cdot 3$

$15-6x>15$

$-6x>0$

    $x<0$.

Gọi $x$ là số trận thắng – thua và $y$ là số trận hòa $$\left(x,y\in \mathbb{N}\ast \right)$$.

Nếu có 5 đội tham gia thi đấu, mỗi đội phải đấu với 4 đội còn lại nên với 5 đội tham gia thì có $5\cdot 4=20$ (trận đấu). Nhưng mỗi trận đấy có 2 đội tham gia nên tổng số trận đấu khi có 5 đội tham gia là $\frac{5\cdot 4}{2}=10$ (trận đấu).

Vì có 10 trận đấu nên $x+y=10\left(1\right)$

Mặt khác, tổng số điểm các đội là $10+9+6+4+0=29$ (điểm).

Mỗi trận thắng – thua có tổng số điểm là 3 và mỗi trận hòa có tổng số có tổng số điểm là 2 nên ta có phương trình $3x+2y=29\left(2\right)$

Từ $$\left(1\right)$$ và $$\left(2\right)$$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y=10\\ 3x+2y=29\end{array}$.

Từ phương trình thứ hai ta có $x+y=10$ suy ra $x=10-y$. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:

$3\left(10-y\right)+2y=29$, suy ra $30-3y+2y=29$ hay $y=1$ (thỏa mãn).

Từ đó $x=10-y=10-1=9$ (thỏa mãn).

Mỗi đội có 4 trận đấu với các đội còn lại mà đội A có 10 điểm tức đội A thắng 3 trận hòa 1 trận.

Đội B có 9 điểm tức thắng 3 trận thua 1 trận.

Đội C có 6 điểm tức thắng 2 trận thua 2 trận.

Đội D có 4 điểm thắng 1 trận hòa 1 trận.

Đội E không có điểm tức là thua hết 4 trận.

Vậy trận hòa là của đội A và đội D.

a) Gọi $x$ (tháng) là thời gian gia đình cô Thúy có thể mua được chiếc ô tô tải bằng tiền tiết kiệm được $\left(x>0\right)$.

Sau x tháng, số tiền gia đình cô Thúy tiết kiệm được là: $$10x$$ (triệu đồng).

Khi đó tổng số tiền gia đình cô Thúy tiết kiệm được là: $$250+10x$$ (triệu đồng).

Theo bài, gia đình cô Thúy dự định mua một chiếc ô tô tải nhỏ để vận chuyển hàng hoá với giá tối thiểu là 370 triệu đồng nên ta có bất phương trình: $$250+10x\ge 370.$$

Vậy bất phương trình cần tìm là: $$250+10x\ge 370.$$

b) Giải bất phương trình:

$$250+10x\ge 370$$

$$10x\ge 120$$

$$x\ge 12.$$

Vậy sau ít nhất 12 tháng, gia đình cô Thúy có thể mua được chiếc ô tô tải đó bằng số tiền tiết kiệm được.

Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là $CD.$

Xét $\Delta BAC$ vuông tại $A$ có

$AC=75\cot \widehat{BCA}=75\cot 45^{\circ }=75\left(\mathrm{m}\right)$.

Xét $\Delta DAB$ vuông tại $A$ có

75m, người ta quan sát hai lần thấy một chiếc thuyền đang hướng về phía hải đăng với góc hạ lần lượt là $30^{\circ }$ và $45^{\circ }$ (xem hình vẽ). (ảnh 2)">

a) Xét $\Delta AKC$ vuông tại $K,$ ta có:

$\sin C=\genfrac{}{}{0ex}{}{AK}{AC},\cos C=\genfrac{}{}{0ex}{}{KC}{AC},$

$\tan C=\genfrac{}{}{0ex}{}{AK}{KC},\cot C=\genfrac{}{}{0ex}{}{KC}{AK}.$

$ABC$ có đường cao $$AK$$. a) Viết các tỉ số lượng giác của góc $C.$ (ảnh 1)">

Gọi $x,y$ lần lượt là độ dài hai cạnh của mảnh vườn hình chữ nhật $\left(x>0,y>0\right).$

Số mét rào cần rào ba cạnh còn lại của mảnh vườn là: $2x+y$ (mét).

Diện tích mảnh vườn là: $xy$ (m2).

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $$ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\left(\ast \right)$$ với $a,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-ab=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{2}$

Với mọi $a,b$ là các số không âm, ta có:

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$ nên $\frac{{\left(a-b\right)}^2}{2}\ge 0$ suy ra ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ ta được:

$$xy=2\cdot x\cdot \frac{y}{2}\le 2\cdot {\left(\frac{x+\frac{y}{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{2x+y}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{100}{2}\right)}^2=1250({\mathrm{m}}^2).$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{y}{2}$ và $2x+y=100$ hay $2\cdot \frac{y}{2}+y=100$ tức là $y=50$, $x=25.$

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là $1250{\mathrm{m}}^2.$