Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

a) Để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất hai ẩn thì $2a\ne 0$ hoặc $-\left(3b+1\right)\ne 0,$ tức là $a\ne 0$ hoặc $b\ne -\frac{1}{3}.$

b) Để đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left(-7;6\right)$ thì tọa độ điểm $M$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Thay $x=-7;y=6$ vào phương trình $2ax-\left(3b+1\right)y=a-1,$ ta được:

$$2a\cdot \left(-7\right)-\left(3b+1\right)\cdot 6=a-1$$

$-14a-18b-6=a-1$

$-15a-18b=5$   (1)

Để đường thẳng $d$ đi qua điểm $N\left(4;-3\right)$ thì tọa độ điểm $N$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Thay $x=4;y=-3$ vào phương trình $2ax-\left(3b+1\right)y=a-1,$ ta được:

$$2a\cdot 4-\left(3b+1\right)\cdot \left(-3\right)=a-1$$

$8a+9b+3=a-1$

$7a+9b=-4$   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}-15a-18b=5\\ 7a+9b=-4\end{array}$

Nhân hai vế phương trình thứ hai với 2 ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{c}-15a-18b=5\\ 14a+18b=-8\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$\left(-15a-18b\right)+\left(14a+18b\right)=5+\left(-8\right)$

$-a=-3$

  $a=3$.

Thay $a=3$ vào phương trình $7a+9b=-4,$ ta có:

$7\cdot 3+9b=-4$ hay $9b=-25$ nên $b=-\frac{25}{9}.$

Vậy $a=3$ và $b=-\frac{25}{9}.$

a) $$2x\left(3x-1\right)=\left(3x-1\right)$$

 $2x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)=0$

         $\left(3x-1\right)\left(2x-1\right)=0$

$3x-1=0$ hoặc $2x-1=0$

$x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=\frac{1}{2}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{1}{3}$ và $x=\frac{1}{2}$.

a) $$4x+1<2x-9$$

$$4x-2x<-9-1$$

$$2x<-10$$

$$x<-5$$.

Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm mà tổ I và tổ II làm được trong tháng 2 $$\left(0<x,y<700\right)$$.

Tháng 2 hai tổ làm được 700 sản phẩm nên ta có: $$x+y=700$$ (sản phẩm) $$\left(1\right)$$

Số sản phẩm tổ I làm được trong tháng 3 là: $$x+20\%\cdot x=1,2x$$ (sản phẩm).

Số sản phẩm tổ II làm được trong tháng 3 là: $$y+15\%\cdot y=1,15y$$ (sản phẩm).

Tháng 3 hai tổ làm được 830 sản phẩm nên ta có: $$1,2x+1,15y=830$$ (sản phẩm) $$\left(2\right)$$

Từ $$\left(1\right)$$ và $$\left(2\right)$$ ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}x+y=700\\ 1,2x+1,15y=830\end{array}$.

Từ phương trình thứ nhất ta có $x+y=700$ suy ra $x=700-y$. Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

$1,2\left(700-y\right)+1,15y=830$, suy ra $0,05y=10$ hay $y=200$ (thỏa mãn).

Từ đó $x=700-y=700-200=500$ (thỏa mãn).

Vậy trong tháng 2 tổ I làm được 500 sản phẩm, tổ II làm được 200 sản phẩm.

a) Hình tam giác có kích thước ba cạnh lần lượt là $x+2;x+4;x+5$ (đvđd).

Khi đó, chu vi hình tam giác là $x+2+x+4+x+5=3x+11$ (đvđd).

Hình chữ nhật có chiều dài $x+3$ (đvđd) và chiều rộng $x+1$ (đvđd).

Khi đó, chu vi hình chữ nhật là $$2\left(x+3+x+1\right)=4x+8$$ (đvđd).

Vì chu vi của hình tam giác luôn lớn hơn chu vi của hình chữ nhật nên ta có $3x+11>4x+8$.

Vậy bất phương trình cần tìm là: $3x+11>4x+8$.

b) Giải bất phương trình:

$3x+11>4x+8$

$4x-3x<11-8$

$x<3.$

Mà $x$ là giá trị nguyên lớn nhất có thể nên $x=2.$

Giả sử trong hình vẽ $BC$ là độ cao của ngọn hải đăng so với mực nước biển thì $AB$ là khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng, góc nghiêng xuống $$\widehat{ACx}=27^{\circ }$$ nên $$\widehat{CAB}=27^{\circ }.$$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có $AB=BC\cdot \cot \widehat{CAB}$.

a) Xét $\Delta AKC$ vuông tại $K,$ ta có:

$\sin C=\genfrac{}{}{0ex}{}{AK}{AC},\cos C=\genfrac{}{}{0ex}{}{KC}{AC},$

$\tan C=\genfrac{}{}{0ex}{}{AK}{KC},\cot C=\genfrac{}{}{0ex}{}{KC}{AK}.$

$ABC$ có đường cao $$AK$$. a) Viết các tỉ số lượng giác của góc $C.$ (ảnh 1)">

Gọi $x$ là số lượng khách đăng ký thêm, $x>0,x\in \mathbb{N}.$

Khi đó, tổng số khách sẽ là $80+x$ (khách).

Cứ thêm một người thì giá chuyến du lịch còn lại là: $$5000000-50000\cdot 1$$ đồng/ người cho toàn bộ hành khách.

Thêm $x$ người thì giá chuyến du lịch còn lại là: $$5000000-50000x$$ đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Doanh thu công ty du lịch thu được là:

$T=\left(80+x\right)\left(5000000-50000x\right)=50000\left(80+x\right)\left(100-x\right)$ (đồng).

Để doanh thu cao nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T.$

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\left(\ast \right)$ với $a,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-ab=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{2}$

Với mọi $a,b$ là các số không âm, ta có:

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$ nên $\frac{{\left(a-b\right)}^2}{2}\ge 0$ suy ra ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ vào biểu thức $T=50000\left(80+x\right)\left(100-x\right),$ ta được:

$$T=50000\left(80+x\right)\left(100-x\right)\le 20000\cdot {\left(\frac{80+x+100-x}{2}\right)}^2=648000000$$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $$80+x=100-x$$ hay $$x=10$$.