Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) – Đề 1 (có đáp án)

a) $\left(1-2x\right)\left(x+5\right)=0$

$1-2x=0$ hoặc $x+5=0$

$2x=1$ hoặc $x=-5$

$x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=-5$

a) $3\cdot 5\le \frac{2x+3}{5}\cdot 5$

 $15\le 2x+3$

 $-2x\le 3-15$

 $-2x\le -12$

     $x\ge 6$.

a) Với $a=0$ và $b\ne 0$ ta có hàm số $y=b.$

Đồ thị hàm số $y=b$ với $b\ne 0$ có đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành và vuông góc với trục tung tại điểm $b$ nằm trên trục tung.

b) Để đồ thị hàm số $y=ax+b$ đi qua điểm $A\left(3;-6\right)$ thì tọa độ điểm $A$ thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay $x=3,y=-6$ vào hàm số $y=ax+b,$ ta được:

$-6=a\cdot 3+b$ hay $3a+b=-6$   (1)

Để đồ thị hàm số $y=ax+b$ đi qua điểm $B\left(-2;4\right)$ thì tọa độ điểm $B$ thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay $x=-2,y=4$ vào hàm số $y=ax+b,$ ta được:

$4=a\cdot \left(-2\right)+b$ hay $-2a+b=4$   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}3a+b=-6\\ -2a+b=4\end{array}$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta được:

$5a=-10$ suy ra $a=-2$.

Thay $a=-2$ vào phương trình $3a+b=-6,$ ta được:

$3\cdot \left(-2\right)+b=-6$ suy ra $b=0.$

Vậy $a=-2$ và $b=0.$

a) Số tiền lãi bà Hoa thu được trong một năm là $0,05x$ (triệu đồng).

Để có được số tiền lãi ít nhất là $20$ triệu đồng/năm thì cần có: $0,05x\ge 20$.

Vậy bất phương trình cần tìm là: $0,05x\ge 20$.

b) Giải bất phương trình:

$0,05x\ge 20$

$x\ge 400.$

Vậy bà Hoa cần gửi ngân hàng ít nhất là $400$ triệu đồng.

Xét $\Delta BCN$ vuông tại $N,$ ta có:

$BN=BC\cdot \sin \widehat{BCN}=60\cdot \sin 32^{\circ }\approx 31,80(\mathrm{cm}).$

Ta thấy $NC$ và $BM$ là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang nên $NC//BM,$ suy ra $\widehat{CBM}=\widehat{BCN}=32^{\circ }$ (so le trong).

Khi đó, $\widehat{ABM}=\widehat{ABC}-\widehat{CBM}=53^{\circ }-32^{\circ }=21^{\circ }$.

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $M$, ta có:

$AM=AB\cdot \sin \widehat{ABM}=60\cdot \sin 21^{\circ }\approx 21,50$ (cm).

Vậy, độ cao của điểm $A$ trên đầu cánh tay robot so với mặt đất là:

$AM+BN+CP\approx 21,50+31,80+17=70,3$ (cm).

a) Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A,$ ta có:

$$\sin \widehat{ABD}=\frac{AD}{BD};\cos \widehat{ABD}=\frac{AB}{BD};$$

$$\tan \widehat{ABD}=\frac{AD}{AB},\cot \widehat{ABD}=\frac{AB}{AD}.$$

Gọi $x$ là số lượng khách thứ 51 trở lên, $x>0,x\in \mathbb{N}.$

Cứ thêm một người thì giá chuyến du lịch còn lại là: $$3000000-50000\cdot 1$$ đồng/ người cho toàn bộ hành khách.

Thêm $x$ người thì giá chuyến du lịch còn lại là: $$3000000-50000x$$ đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Doanh thu công ty du lịch thu được là:

$T=\left(50+x\right)\left(3000000-50000x\right)=50000\left(50+x\right)\left(60-x\right)$ (đồng).

Để doanh thu cao nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T.$

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\left(\ast \right)$ với $a,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-ab=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{{\left(a-b\right)}^2}{2}$

Với mọi $a,b$ là các số không âm, ta có:

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$ nên $\frac{{\left(a-b\right)}^2}{2}\ge 0$ suy ra ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left(\ast \right)$ vào biểu thức $T=50000\left(50+x\right)\left(60-x\right),$ ta được:

$$T=50000\left(50+x\right)\left(60-x\right)\le 50000\cdot {\left(\frac{50+x+60-x}{2}\right)}^2=151250000$$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $$50+x=60-x$$ hay $$x=5$$.

Vậy nếu đoàn khách có $50+5=55$ người thì công ty du lịch đạt doanh thu cao nhất là $$151250000$$ đồng.