Đề thi cuối kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

13 câu · Đề cuối kì 2

Đề tự luận: mỗi câu có đáp án tham khảo của đề gốc để bạn tự đối chiếu bài làm (không tính điểm).

Câu 1

Câu tự luận

Câu 1-2. Một cổng chào được thiết kế theo hình parabol là một phần của đồ thị hàm số $y = - \frac{x^{2}}{2} .$ Khoảng cách giữa hai chân cổng là $A B = 8 m .$

a) Tính hoành độ của hai điểm $A, B$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Xét đồ thị hàm số $y = - \frac{x ^{2}}{2}$ .

a) Ta có $\frac{A B}{2} = 4$ .

Vậy hoành độ của $A$ và $B$ thứ tự là $- 4$ và $4$ .

Câu 2

Câu tự luận

b) Tính chiều cao của cổng.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

b) Thay $x = 4$ vào công thức $y = - \frac{x ^{2}}{2}$ , ta có: $y = - \frac{4}{2}^{2}$ nên $y = - 8$ .

Vậy chiều cao của cổng là $∣ - 8 ∣ = 8 (m)$ .

Câu 3

Câu tự luận

2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi $280 m$ . Người ta làm một lối đi xung quanh vườn rộng $2 m$ , diện tích còn lại để trồng trọt là $4256 m^{2}$ . Tính chiều dài, chiều rộng của khu vườn.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Tính chiều dài, chiều rộng của khu vườn. (ảnh 1)

Nửa chu vi của vườn là $\frac{280}{2} = 140 (m)$ .

Gọi $x (m)$ là chiều dài của hình chữ nhật $(70 < x < 140) .$

Khi đó, chiều rộng của hình chữ nhật là:

140 - x (m)

Mỗi bên để $2 m$ làm lối đi nên chiều dài của đất để lại trồng trọt chỉ còn $x - 4 (m)$ và chiêu rộng là: $140 - x - 4 = 136 - x (m)$ .

Theo bài ra, ta có phương trình: $(x - 4) (136 - x) = 4256$

$136 x - x^{2} - 544 + 4 x = 4256$

$x^{2} - 140 x + 4800 = 0$

Ta có $a = 1; b^{'} = - 70; c = 4800; Δ^{'} = 4900 - 4800 = 100 > 0$ .

Do đó $x = 60$ (loại) hoặc $x = 80$ (TMĐK).

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là 80 m và 60 m.

Câu 4

Câu tự luận

Câu 4-5. (2,0 điểm) Biểu đồ dưới đây biểu diễn tỉ lệ về thời gian chạy cự li 100 mét của các học sinh lớp 9A.

Biết rằng có 5 học sinh có thời gian chạy từ 13 giây đến dưới 15 giây.

a) Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Gọi $n$ là tổng số học sinh của lớp 9A, ta có $\frac{5}{n} \cdot 100% = 12, 5%$ .

Suy ra $n = 40$ học sinh.

Ta có bảng phân bố tần số ghép nhóm như sau:

Thời gian (tính bằng giây)	$[13; 15)$	$[15; 17)$	$[17; 19)$	$[19; 21)$
Tần số	5	16	13	6

Câu 5

Câu tự luận

b) Bạn lớp trưởng cho rằng có trên 50% số học sinh của lớp có thời gian chạy nhanh hơn 17 giây. Nhận định đó đúng hay sai? Tại sao?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

b) Tổng số học sinh chạy nhanh hơn 17 giây là 19 học sinh, đạt tỉ lệ $\frac{19}{40} \cdot 100% = 47, 5%.$ Do đó nhận định của bạn lớp trưởng là nhận định sai.

Câu 6

Câu tự luận

Câu 6-7. (1,5 điểm) Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm bốn hình quạt bằng nhau, đánh số 1; 2; 3; 4 và được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm (hình vẽ).

Bạn Tuấn quay tấm bìa hai lần, quan sát và ghi lại số hình quạt và mũi tên chỉ vào.

a) Xác định không gian mẫu của không gian mẫu.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Ta có bảng sau:

Lần 2 Lần 1	1	2	3	4
1	(1, 1)	(1, 2)	(1, 3)	(1, 4)
2	(2, 1)	(2, 2)	(2, 3)	(2, 4)
3	(3, 1)	(3, 2)	(3, 3)	(3, 4)
4	(4, 1)	(4, 2)	(4, 3)	(4, 4)

Không gian mẫu là:

$Ω = {(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4);$ $(4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4)} .$

Do đó, không gian mẫu có 16 phần tử.

Câu 7

Câu tự luận

b) Tính xác suất của các biến cố:

E: “Tổng hay số ghi trên hai hình quạt ở hai lần quay bằng 5”.

F: “Tích hai số ghi trên hai hình quạt ở hai lần quay bằng 4”.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

b) Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ là $E = {(1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1)} .$

Do đó, xác suất của biến cố $E$ là $P (E) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} .$

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố $F$ là $F = {(1, 4); (2, 2); (4, 1)} .$

Do đó, xác suất của biến cố $F$ là $P (F) = \frac{3}{16} .$

Câu 8

Câu tự luận

Cho tam giác $A B C$ đều như hình vẽ. Điểm $B$ biến thành điểm nào?

• Phép phép quay thuận chiều $6 0^{\circ}$ tâm $A$ .

• Phép phép quay ngược chiều $30 0^{\circ}$ tâm $A$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho tam giác <span class= $A B C$ đều như hình vẽ. Điểm $B$ biến thành điểm nào? • Phép phép quay thuận chiều $6 0^{\circ}$ tâm $A$ . • Phép phép quay ngược chiều $30 0^{\circ}$ tâm $A$ . (ảnh 1)">

a) Tam giác $A B C$ đều nên $A B = A C$ . Do đó $C$ thuộc đường tròn $(A; A B)$ .

Xét đường tròn $(A; A B)$ , ta có: $B A C = 6 0^{\circ}$ nên

Khi đó điểm

B

biến thành điểm

C

qua phép quay thuận chiều

6 0^{\circ}

tâm

A

b) Ta có: $sđ \overset{⏜}{B n C} = 360 ° - sđ \overset{⏜}{B m C} = 360 ° - 60 ° = 300 °$ .

Khi đó điểm $B$ biến thành điểm $C$ qua phép quay ngược chiếu $30 0^{\circ}$ tâm $A$ .

Câu 9

Câu tự luận

Câu 9-11. Cho đường tròn

(O; R)

và đường thẳng

d

không đi qua

O

cắt đường tròn tại hai điểm

A B C

A, B

. Lấy một điểm

M

trên tia đối của tia

B A

kẻ hai tiếp tuyến

M C, M D

với đường tròn

(C, D

là hai tiếp điểm). Gọi

H

là trung điểm của

A B .

a) Chứng minh rằng

M, D, O, H

cùng nằm trên một đường tròn.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Chứng minh rằng <span class= $M, D, O, H$ cùng nằm trên một đường tròn. (ảnh 1)">

a) Vì $M C, M D$ là tiếp tuyến của $(O; R)$ $(C, D$ là hai tiếp điểm) nên $M C ⊥ O C,$ $M D ⊥ O D .$

Suy ra $O C M = O D M = 9 0^{\circ}$ nên $C, D$ thuộc đường tròn đường kính $O M$ .

Vì

H

là trung điểm của

A B

và

A B

là dây của

(O; R)

nên

O H ⊥ A B

Suy ra $O H M = 9 0^{\circ}$ nên $H$ thuộc đường tròn đường kính $O M$ .

Vậy $M, D, O, H$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $O M$ .

Câu 10

Câu tự luận

b) Đoạn $O M$ cắt đường tròn tại $I .$ Chứng minh rằng $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $M C D .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Vì $M C, M D$ là tiếp tuyến của $(O; R)$ $(C, D$ là hai tiếp điểm) nên $M O$ là tia phân giác của $C M D$ và $O M$ là tia phân giác của $C O D .$

Mặt khác, $M C I = C D I$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn

và $C D I = D C I$ (tam giác $C D I$ cân tại $I)$ .

Suy ra $M C I = D C I$ nên $C I$ là tia phân giác của $M C D$ .

Ta có $I$ là giao điểm hai đường phân giác trong của tam giác $M C D$ nên $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $M C D .$

Câu 11

Câu tự luận

c) Đường thẳng qua $O,$ vuông góc với $O M$ cắt các tia $M C, M D$ theo thứ tự tại $P, Q .$ Tìm vị trí của điểm $M$ trên $d$ sao cho diện tích tam giác $M P Q$ nhỏ nhất.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

c) Ta có $S_{M P Q} = 2 S_{M P O} = M P \cdot O C = (M C + C P) \cdot R$ .

Mà $M C + C P \geq 2 M C . C P = 2 O C^{2} = 2 R$ nên $S_{M P Q} \geq 2 R^{2}$ .

Dấu xảy ra khi $M C = C P = R$ hay $O M = R 2$ .

Vậy để diện tích tam giác $M P Q$ nhỏ nhất thì $M$ là giao điểm của $(O; R 2)$ và đường thẳng $d .$

Câu 12

Câu tự luận

Câu 12-13. (1,5 điểm) Chú Hề trên sân khấu thường có trang phục như Hình a. Mũ của chú Hề có dạng hình nón. Có thể mô phỏng cấu tạo, kích thước chiếc mũ của chú Hề như Hình b.

a) Để phủ kín mặt ngoài của chiếc mũ của chú Hề như Hình b cần bao nhiêu cemtimet vuông giấy màu (không tính phần mép dán, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

a) Để phủ kín mặt ngoài của chiếc mũ của chú Hề như Hình b cần bao nhiêu cemtimet vuông giấy màu (không tính phần mép dán, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). (ảnh 1)

a) Đường kính của hình nón là: $26 - 2.3 = 20 (cm)$ .

Bán kính $r = \frac{20}{2} = 10 (cm)$ .

Đường sinh là $30 cm$ .

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là:

$S_{x q} = π r l = π \cdot 10 \cdot 30 = 300 π (c m^{2}) \approx 942, 48 (c m^{2})$ .

Để phủ kín mặt ngoài chiếc mũ của chú hề, số giấy màu cần dùng là khoảng $942, 48 c m^{2} .$

Câu 13

Câu tự luận

b) Hỏi thể tích phần có dạng hình nón của chiếc mũ chú hề ở Hình b bằng bao nhiêu centimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Tam giác

S O A

vuông tại

O

(như hình vẽ).

Bán kính của hình nón là: $\frac{26 - 3 \cdot 2}{2} = 10 (cm)$ .

Theo định lý Pythagore, ta có: $S A^{2} = S O^{2} + O A^{2}$

Suy ra $S O = S A^{2} - O A^{2} = 30^{2} - 10^{2} = 202 (cm) .$

Chiều cao của hình nón $h = S O = 202 (cm)$ .

Thể tích phần có dạng hình nón của chiếc mũ hề là:

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π . 1 0^{2} . 202 \approx 2 961, 92 (c m^{3})$ .

Vậy thể tích phần có dạng hình nón của chiếc mũ hề là $2 961, 92c m^{3} .$