Đề thi cuối kì 2 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) – Đề 5 (có đáp án)

a) Tần số tương đối của các nhóm lần lượt là:

$f_1=\frac{20}{100}\cdot 100\%=20\%$ ; $f_2=\frac{15}{100}\cdot 100\%=15\%$

$f_3=\frac{25}{100}\cdot 100\%=25\%$ ; $f_4=\frac{30}{100}\cdot 100\%=30\%$  ; $f_5=\frac{10}{100}\cdot 100\%=10\%$ 

b) Bảng tần số tương đối của mỗi nhóm

Biểu đồ cột của mẫu số liệu ghép nhóm:

a) Kí hiểu $$T$$ là màu trắng,  là màu đỏ và $$V$$ là màu vàng.

Không gian mẫu $\Omega =\left(\left(T,Đ\right);\left(T,V\right);\left(Đ,Đ\right);\left(Đ,V\right)\right)$.

Số kết quả có thể xảy ra là $n\left(\Omega \right)=4$.

b) Vì các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng nên các kết quả trên có cùng khả năng xảy ra.

Có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố $$A$$ là .

Do đó, xác suất của biến cố $$A$$ là $P\left(A\right)=\frac{1}{4}$.

Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố $$B$$ là .

Do đó, xác suất của biến cố B là $P\left(B\right)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.

Xét đồ thị hàm số $y=5x^2$.

a) Với $x=-2$ thì $y=5\cdot {\left(-2\right)}^2=20.$

Vậy tọa độ điểm cần tìm là $\left(-2;20\right).$

b) Với $x=5$ thì $5x^2=5$ nên $x^2=1.$

Do đó $x=1$ hoặc $x=-1.$

Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left(1;5\right)$ hoặc $\left(-1;5\right).$

2. Gọi $x\left(\%\right)$ là lãi suất trong một năm của ngân hàng $\left(x>0\right)$.

Sau năm thứ nhất người đó phải trả:

 $20000000+20000000\cdot \frac{x}{100}=200000\left(100+x\right)$

Số tiền sau năm thứ hai tăng thêm là:

$200000\left(100+x\right)\frac{x}{100}=2000x\left(x+100\right)$

Theo bài ra, ta có phương trình:

$200000\left(100+x\right)+2000x\left(x+100\right)=24200000$

$100\left(100+x\right)+x\left(x+100\right)=12100$

$x^2+200x-2100000=0$

$x=10$ (TMĐK) hoặc $x=-210$ (loại).

Vậy lãi của ngân hàng một năm là $10\%$.

2. Gọi $x\left(\%\right)$ là lãi suất trong một năm của ngân hàng $\left(x>0\right)$.

Sau năm thứ nhất người đó phải trả:

 $20000000+20000000\cdot \frac{x}{100}=200000\left(100+x\right)$

Số tiền sau năm thứ hai tăng thêm là:

$200000\left(100+x\right)\frac{x}{100}=2000x\left(x+100\right)$

Theo bài ra, ta có phương trình:

$200000\left(100+x\right)+2000x\left(x+100\right)=24200000$

$100\left(100+x\right)+x\left(x+100\right)=12100$

$x^2+200x-2100000=0$

$x=10$ (TMĐK) hoặc $x=-210$ (loại).

Vậy lãi của ngân hàng một năm là $10\%$.

Trong tam giác $ABC$ có $BE,AD$ là hai đường cao cắt nhau tại $H$.

Vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $CH\perp AB$.

Trong $\left(O\right)$ có $\widehat{ABM},\widehat{ACM}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn đường kính $AM$

Suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{ACM}=90^{\circ }$ nên $MB\perp AB;MC\perp AC.$

Mà $CH\perp AB;BH\perp AC$ nên $MB//CH,MC//BH$  nên $BHCM$ là hình bình hành.

Xét đường tròn $\left(O\right)$ có $OI\perp BC$ tại $I$ nên $I$ là trung điểm của $BC$ (đường kính vuông góc với dây).

Xét $\Delta DHB$ và $\Delta DCA$ có

$\widehat{BDH}=\widehat{ADC}=90^{\circ }$ (vì $AD\perp BC$)

$\widehat{HBD}=\widehat{DAC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

Do đó .

Suy ra $\frac{DH}{DC}=\frac{DB}{DA}$ hay $DH\cdot DA=DB\cdot DC.$

Ta có ${\left(a-b\right)}^2\ge 0$ hay $a^2-2ab+b^2\ge 0$ nên $a^2+2ab+b^2\ge 4ab$, suy ra $ab\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}$.

Áp dụng bất đẳng thức $ab\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}$, ta có: $DB\cdot DC\le \frac{{\left(DB+DC\right)}^2}{4}=\frac{B{C}^2}{4}$.

Suy ra $DH\cdot DA\le \frac{B{C}^2}{4}$ không đổi vì $BC$ cố định.

Dấu xảy ra khi $DB=DC$, khi đó $A$ là điểm chính giữa cung lớn .

Vậy $A$ là điểm chính giữa cung lớn thì giá trị lớn nhất của $DH\cdot DA$ bằng $\frac{B{C}^2}{4}$.

a) Chiều cao hộp dựng bóng hình trụ là $h=6,4\cdot 3=19,2(\mathrm{cm})$

Bán kính đáy hộp đựng bóng hình trụ là $R_1=6,4:2=3,2(\mathrm{cm})$.

Thể tích hộp đựng bóng hình trụ là:

$V_1=\pi r{R}_1^{2}h=\pi \cdot 3,2^2\cdot 19,2=618\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right)$.

Vậy thể tích hộp dựng bóng $618\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3.$

Bán kính quả bóng tennis là $R_2=\frac{6,4}{2}=3,2\left(cm\right)$.

Thể tích của ba quả bóng tennis có dạng hình cầu là:

$V_2=3.\left(\frac{4}{3}\pi R_2^3\right)=3\cdot \left(\frac{4}{3}\pi \cdot 3,2^3\right)\approx 412\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right).$

Thể tích bên trong hộp đựng bóng không bị chiếm bởi ba quả bóng tennis là:

$V=V_1-V_2=618-412=206\left(c{m}^3\right)$.

Vậy thể tích bên trong hộp đựng bóng không bị chiếm bởi ba quả bóng tennis $206c{m}^3.$