Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới – Đề 2 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.         b) Sai.              c) Đúng.        d) Đúng.

• Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông $ABC$, có:

$AC=AB.\tan \widehat{CBA}=48.\tan 80^{\circ }\approx 272,22\left(\mathrm{m}\right).$

Do đó, ý a) là sai.

• Do người đó có tầm mắt $$1,65\mathrm{m}$$ nên chiều cao của tòa nhà là:

$$272,22-1,65=270,57\left(\mathrm{m}\right)$$.

Vậy tòa nhà cao $$270,57\mathrm{m}$$.

Do đó, ý b) là sai.

• Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở $$E$$ đến chân tòa nhà là độ dài đoạn $$EA$$.

Xét tam giác vuông $$EAD$$, ta có:

$$EA=\frac{AD}{\tan \widehat{DEA}}=\frac{200}{\tan 65^{\circ }}\approx 93,26\left(\mathrm{m}\right).$$

Do đó, ý c) là đúng.

• Khoảng cách của hai xe thu gom phế thải là $$93,26-48=45,26\left(\mathrm{m}\right).$$

Vậy hai xe thu gom phế thải cách nhau $$45,26\mathrm{m}$$.

Vậy ý d) là đúng.

Hướng dẫn giải

a) Với $x>0,x\ne 1$ ta có:

$P=\left(\frac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right)\cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$

   $$=\frac{x-2+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\sqrt{x}}\cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$$

   $$=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\sqrt{x}}\cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$$

   $$=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$$.

Vậy với $x>0,x\ne 1$ ta có $P=\frac{\sqrt{x}<span></span>+1}{\sqrt{x}}.$

b) Ta có $P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$.$BC$

Theo đề, để $2P=2\sqrt{x}+5$ thì $\frac{2\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+5$

Suy ra $2\sqrt{x}+2=2x+5\sqrt{x}$ hay $2x+3\sqrt{x}-2=0$ do đó $\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)=0$

Suy ra $\sqrt{x}+2=0$ hoặc $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$.

Do đó, $\sqrt{x}=-2$ (vô lí) hoặc $\sqrt{x}=\frac{1}{2}$.

Suy ra $x=\frac{1}{4}$ (thỏa mãn).

Vậy $x=\frac{1}{4}$ thì $2P=2\sqrt{x}+5$.

Hướng dẫn giải

Đặt $$AD=x\left(x>0\right)$$.

Ta có tứ giác $$ADME$$ có $$\widehat{ADE}=\widehat{DAE}=\widehat{AEM}=90^{\circ }$$ nên $$ADME$$ là hình chữ nhật.

Do đó, $$EM=AD=x(\mathrm{m}).$$

Ta có $EM//AB$ (cùng vuông góc với $AC)$ nên theo hệ quả định lí Thalès, ta có:

$$\frac{EM}{AB}=\frac{CE}{CA}$$ hay $$\frac{x}{6}=\frac{CE}{8}$$ suy ra $$CE=\frac{4}{3}x$$.

Ta có $$AE=AC-EC=8-\frac{4}{3}x$$.

Diện tích hình chữ nhật $$ADME$$ là:

$$S_{ADME}=AD.AE=x\left(8-\frac{4}{3}x\right)$$$$=-\frac{4}{3}{x}^2+8x=-\frac{4}{3}\left(x^2-6x\right)$$

 $$=-\frac{4}{3}\left(x^2-6x+9\right)+12$$$$=-\frac{4}{3}{\left(x-3\right)}^2+12$$.

Vì $${\left(x-3\right)}^2\ge 0$$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $$-\frac{4}{3}{\left(x-3\right)}^2\le 0$$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Do đó $$-\frac{4}{3}{\left(x-3\right)}^2+12\le 12$$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Dấu “=” xảy ra khi $$x-3=0$$ hay $$x=3.$$

Khi đó $$D$$ là trung điểm của $$AB$$.

Lúc này, xét $\Delta ABC$ có $D$ là trung điểm của $AB$ và $DM//AC$ (cùng vuông góc với $AB)$ nên $DM$ là đường trung bình của tam giác $ABC,$ suy ra $$M$$ là trung điểm của $$BC$$.

Như vậy, diện tích lớn nhất của hình chữ nhật $$ADME$$ bằng $$12{\mathrm{m}}^2$$ khi $$M$$ là trung điểm của $$BC$$.

Vậy diện tích ao cá lớn nhất mà người đó có thể đào là $$12{\mathrm{m}}^2$$.