Đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) – Đề 2 (có đáp án)

a) ⦁ Xét biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}$.

Ta có $\sqrt{x}+3>0$ với mọi $x\ge 0$ nên điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x\ge 0.$

⦁ Xét biểu thức $B=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}+\frac{7-\sqrt{x}}{x-1}$.

Ta có $\sqrt{x}+1>0$ với mọi $x\ge 0$ nên điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x\ge 0,x\ne 1.$

b) Thay $x=16$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta được:

$A=\frac{\sqrt{16}+2}{\sqrt{16}+3}=\frac{4+2}{4+3}=\frac{6}{7}$.

Vậy $A=\frac{6}{7}$ khi $x=16$.

c) Với $x\ge 0;x\ne 1$, ta có:

$B=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}+\frac{7-\sqrt{x}}{x-1}=\frac{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{7-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

   $=\frac{x+4\sqrt{x}-5+7-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{x+3\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

   $=\frac{x+\sqrt{x}+2\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}.$

Vậy với $x\ge 0;x\ne 1$ thì $B=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}$.

a) Điều kiện xác định $x\ne \frac{1}{3},x\ne -\frac{1}{3}.$

Ta có: $\frac{1-3x}{1+3x}-\frac{1+3x}{1-3x}=\frac{4}{1-9x^2}$

$\frac{{\left(1-3x\right)}^2}{\left(1+3x\right)\left(1-3x\right)}-\frac{{\left(1+3x\right)}^2}{\left(1+3x\right)\left(1-3x\right)}=\frac{4}{\left(1+3x\right)\left(1-3x\right)}$

$\frac{{\left(1-3x\right)}^2-{\left(1+3x\right)}^2}{\left(1+3x\right)\left(1-3x\right)}=\frac{4}{\left(1+3x\right)\left(1-3x\right)}$

${\left(1-3x\right)}^2-{\left(1+3x\right)}^2=4$

$\left(1-3x-1-3x\right)\left(1-3x+1+3x\right)=4$

$-6x\cdot 2=4$

$-12x=4$

      $x=-\frac{1}{3}$ (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) $\frac{3x+5}{2}-1<\frac{2x+1}{3}+x$

$\frac{\left(3x+5\right)\cdot 3}{6}-\frac{1\cdot 6}{6}<\frac{\left(2x+1\right)\cdot 2}{6}+\frac{x\cdot 6}{6}$

$\left(3x+5\right)\cdot 3-6<\left(2x+1\right)\cdot 2+6x$

$9x+15-6<4x+2+6x$

$-x<-7$

   $x>7$.

Vậy bất phương trình trên có nghiệm là $x>7$.

c) $\frac{3}{2}\sqrt{4x-8}-9\sqrt{\frac{x-2}{81}}=6$    (đkxđ: $x\ge 2).$

$$\frac{3}{2}\sqrt{4\left(x-2\right)}-9\sqrt{\frac{1}{81}\left(x-2\right)}=6$$

$$\frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{x-2}-9\cdot \frac{1}{9}\sqrt{x-2}=6$$

$$3\sqrt{x-2}-\sqrt{x-2}=6$$

$$2\sqrt{x-2}=6$$

$$\sqrt{x-2}=3$$

    $$x-2=9$$

    $$x=11$$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=11.$

2. a) Gọi $$x,y$$ lần lượt là giá niêm yết của loại vé I và II ($$x,y>0$$, đơn vị: nghìn đồng).

• Tuần lễ kích cầu du lịch:

Giá loại vé I giảm 15%, tức là sẽ có giá 100% – 15% = 85% của giá niêm yết nên giá bán vé loại I lúc này là $$85\%x=0,85x$$ (nghìn đồng).

Giá loại vé II giảm 10%, tức là sẽ có giá 100% – 10% = 90% của giá niêm yết nên giá bán vé loại II lúc này là $$90\%y=0,9y$$ (nghìn đồng).

Do đó, tổng số tiền khi anh Bảo mua 3 vé loại I và 2 vé loại II là:

$$3\cdot 0,85x+2\cdot 0,9y=2,55x+1,8y$$ (nghìn đồng).

Theo bài, anh Bảo phải trả số tiền là $24825000$ đồng (hay $24825$ nghìn đồng) nên ta có phương trình:

$$2,55x+1,8y=24825$$ (1)

• Tuần lễ Quốc tế Lao động:

Giá loại vé I giảm 10%, tức là sẽ có giá 100% – 10% = 90% của giá niêm yết nên giá bán vé loại I lúc này là $$90\%x=0,9x$$ (nghìn đồng).

Giá loại vé II giảm 15%, tức là sẽ có giá 100% – 15% = 85% của giá niêm yết nên giá bán vé loại II lúc này là $$85\%y=0,85y$$ (nghìn đồng).

Do đó, tổng số tiền khi anh Bình mua 3 vé loại I và 4 vé loại II là:

$$3\cdot 0,9x+4\cdot 0,85y=2,7x+3,4y$$ (nghìn đồng).

Theo bài, anh Bình phải trả số tiền là $37790000$ đồng (hay $37790$nghìn đồng) nên ta có phương trình:

$$2,7x+3,4y=37790$$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}2,55x+1,8y=24825\\ 2,7x+3,4y=37790\end{array}$$.

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3,4 và nhân cả hai vế của phương trình (2) với 1,8, ta được hệ phương trình mới là: $$\{\begin{array}{l}8,67x+6,12y=84405\\ 4,86x+6,12y=68022\end{array}$$

Trừ từng vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$$3,81x=16383$$ suy ra $$x=4300$$ (thỏa mãn).

Thay $$x=4300$$ vào phương trình (1), ta được:

$$2,55\cdot 4300+1,8y=24825$$ suy ra $1,8y=13860$ nên $$y=7700$$ (thỏa mãn).

Ta có $$4300$$ nghìn đồng tức là $$4300000$$ đồng; $$7700$$ nghìn đồng là $$7700000$$ đồng.

Vậy giá niêm yết của loại vé I là $$4300000$$ đồng và giá niêm yết của loại vé II là $$7700000$$ đồng.

b) i) – Trong dịp lễ Quốc tế Lao động, doanh nghiệp định thưởng 6 vé loại I mà theo bài, nếu khách hàng mua từ 5 vé thuộc cùng một loại trở lên thì sẽ được giảm thêm $7\%$ của giá vé đã giảm lần đầu, do đó giá tiền của mỗi vé loại I mà doanh nghiệp này đã mua được là:

$0,9\cdot 4300000\cdot \left(100\%-7\%\right)=3599100$ (đồng).

Do đó, số tiền mua 6 vé loại I này là: $$6\cdot 3599100=21594600$$ (đồng).

– Gọi số vé thưởng loại II là $$n\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\ge 5\right)$$.

Khi doanh nghiệp mua ít nhất là 5 vé loại II, thì giá tiền mỗi vé loại II là:

$$0,85\cdot 7700000\cdot \left(100\%-7\%\right)=6086850$$ (đồng).

Do đó, số tiền mua $n$ vé loại II lúc này là: $$6086850n$$ (đồng).

Theo bài, nguồn kinh phí thưởng không vượt quá 95 triệu đồng, do đó ta có bất phương trình:

$$21594600+6086850n\le 95000000$$.

ii) Giải bất phương trình:

$$21594600+6086850n\le 95000000$$

$$6086850n\le 73405400$$

$$n\le 12,\mathrm{05966962...}$$.

Do $$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$ và cần tìm giá trị $n$ lớn nhất nên $$n=12$$.

Do đó, doanh nghiệp có thể mua 6 vé loại I và nhiều nhất là 12 vé loại II.

Vậy doanh nghiệp A có thể mua nhiều nhất 18 vé thưởng cho nhân viên.

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có: $\sin \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB},\tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{BC}.$

b) Theo đề bài, phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$ có tỉ lệ $3:2$ hay $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$, suy ra $\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$.

Theo câu a, ta có: $\sin \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$, suy ra $\alpha =\widehat{ABC}\approx 41^{\circ }49^{\prime }.$

Mà $\tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{BC}$ nên $AC=BC\cdot \tan \widehat{ABC}\approx 5\cdot \tan 41^{\circ }49^{\prime }\approx 4,47(\mathrm{m}).$

Mà $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$, suy ra $AB=\frac{3}{2}AC\approx \frac{3}{2}\cdot 4,47=6,705(\mathrm{m}).$

Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$.

Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: $$4,47+6,705=11,175\approx 11,18(\mathrm{m}).$$

$A,B,O,C$ cùng thuộc một đường tròn. (ảnh 1)">

b) ⦁ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$ của đường tròn $\left(O\right)$ ta có: $AB=AC$ suy ra $A$ thuộc đường trung trực của $BC$ (3).

Lại có $OB=OC=R$ suy ra $O$ thuộc đường trung trực của $BC$ (4).

Từ (3) và (4) suy ra $AO$ là đường trung trực của $BC$ hay $OA$ vuông góc với $BC$ tại $H$.

⦁ Xét đường tròn $\left(O\right)$ đường kính $BD$ có $\widehat{BCD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{BCD}=90^{\circ }.$

Ta có: $\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90^{\circ }$ (tổng hai góc nhọn của tam giác $\Delta ABH$ vuông tại $H)$ và $\widehat{DBC}+\widehat{ABH}=90^{\circ }$

Suy ra $\widehat{BAH}=\widehat{DBC}$.

Xét $\Delta DBC$ và $\Delta BAH$ có: $\widehat{BCD}=\widehat{AHB}=90^{\circ }$ và $\widehat{DBC}=\widehat{BAH}$

Vì  $\Delta DBC\backsim \Delta BAH$ (câu b) nên $$\frac{BC}{AH}=\frac{DC}{BH}$$

Hướng dẫn giải

Chiều dài của đáy bể là $2x(\mathrm{m}).$

Diện tích đáy của bể là $2x^2\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Chiều cao của bể là: $\frac{72}{2x^2}=\frac{36}{x^2}\left(\mathrm{m}\right)$.

Diện tích xung quanh của bể là: $2\cdot \frac{36}{x^2}\cdot \left(x+2x\right)=\frac{72\cdot 3x}{x^2}=\frac{216}{x}\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:

$\frac{216}{x}+2x^2\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Do $x$ là chiều rộng của bể nên $x>0$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$2x^2+\frac{216}{x}=2x^2+\frac{108}{x}+\frac{108}{x}\ge 3\sqrt[3]{2x^2\cdot \frac{108}{x}\cdot \frac{108}{x}}$

Suy ra $2x^2+\frac{216}{x}\ge 3\sqrt[3]{23328}\approx 85,72$

Dấu “=” xảy ra khi $2x^2=\frac{108}{x}=\frac{108}{x}$ hay $2x^3=108$, tức là $x=\sqrt[3]{54}\approx 3,78\mathrm{m}.$

Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì $x\approx 3,78\mathrm{m}.$