Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức – Đề 6 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Từ phương trình thứ nhất ta có $$y=3-x$$. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

$$3x-\left(3-x\right)=5$$, tức là $$4x-3=5$$, suy ra $$4x=8$$ hay $$x=2$$.

Từ đó $$y=3-2=1.$$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $$\left(2;1\right).$$

b) Cộng từng vế của hai phương trình ta được $$2x+y+5x-y=14$$ hay $$7x=14$$, suy ra $$x=2.$$

Thế $$x=2$$ vào phương trình thứ nhất, ta được $$2\cdot 2+y=4$$, suy ra $y=0.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $$\left(2;0\right).$$

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Gọi $$x\left(\mathrm{m}\right)$$ là chiều rộng của khu vườn lúc đầu $$\left(x>0\right).$$

$$y\left(\mathrm{m}\right)$$ là chiều rộng của khu vườn lúc đầu $$\left(y>0\right).$$

Khu vườn lúc đầu có chu vi bằng $$68\mathrm{m}$$ nên $$2x+2y=68$$ hay $$x+y=34\left(1\right)$$

Chiều rộng khu vườn sau khi tăng là $$2x\left(\mathrm{m}\right)$$

Chiều dài khu vườn sau khi tăng là $$3y\left(\mathrm{m}\right)$$

Chu vi của khu vườn sau khi tăng là $$2\cdot 2x+2\cdot 3y=178$$ hay $$2x+3y=89\left(2\right)$$

Từ $$\left(1\right)$$ và $$\left(2\right)$$ ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=34\\ 2x+3y=89\end{array}$.

Từ phương trình thứ nhất ta có $x=34-y$. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

$2\left(34-y\right)+3y=89$, tức là $2y=42$, suy ra $y=21\left(\mathrm{TM}\right)$.

Từ đó $x=34-21=13\left(\mathrm{TM}\right)$.

Khi đó, chiều rộng lúc ban đầu là 13 m và chiều dài lúc ban đầu là 21 m.

Diện tích ban đầu của khu vườn là: $13\cdot 21=273\left({\mathrm{m}}^2\right)$.

Vậy diện tích ban đầu của khu vườn là $273{\mathrm{m}}^2.$

Hướng dẫn giải

1. Xét tam giác $$ABC$$ vuông tại $A$, ta có:

$AB=BC.\cos C$ nên

$BC=\frac{AB}{\cos C}=\frac{6}{\frac{3}{5}}=10\left(\mathrm{cm}\right)$.

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

$A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=10^2-6^2=64$, suy ra $AC=8\mathrm{cm}$.

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CBA$ có $\widehat{AHB}=\widehat{BAC}=90^{\circ };\hat{B}$ chung.

Do đó .

Suy ra $\frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}$ hay $A{B}^2=BH.BC$ nên $BH=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{6^2}{10}=3,6\left(\mathrm{cm}\right)$.

Vậy $BC=10\mathrm{cm},AC=8\mathrm{cm},BH=3,6\mathrm{cm}.$

2. Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là $CD.$

Xét $\Delta BAC$ vuông tại $A$ có $AC=75\cot \widehat{BCA}=75\cot 45^{\circ }=75\left(\mathrm{m}\right)$.

Xét $\Delta DAB$ vuông tại $A$ có $AD=75\cot \widehat{BDA}=75\cot 30^{\circ }=75\sqrt{3}\left(\mathrm{m}\right)$.

Quãng đường chiếc thuyền đi được giữa hai lần quan sát là:

$CD=AD-AC=75\sqrt{3}-75\approx 55\left(\mathrm{m}\right)$.

Vậy chiếc thuyền đi được khoảng 55 mét giữa hai lần quan sát.

Hướng dẫn giải

Ta có: $$x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0.$$

$\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0$

${\left(x+y\right)}^2+7\left(x+y\right)+y^2+10=0\left(1\right)$

Đặt $$S=x+y$$.

Khi đó phương trình $\left(1\right)$ trở thành: $$S^2+7S+y^2+10=0$$

$S^2+7S+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}-y^2$

${\left(S+\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}-y^2\le \frac{9}{4}$.

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $\frac{9}{4}-y^2=\frac{9}{4}$ hay $y=0$.

Do đó ${\left(S+\frac{7}{2}\right)}^2\le \frac{9}{4}$ nên $\frac{-3}{2}\le S+\frac{7}{2}\le \frac{3}{2}$ hay $$-5\le S\le -2.$$

Ta có $P=\frac{2x+2y-3}{x+y+6}=\frac{2\left(x+y+6\right)-15}{x+y+6}$ $=2-\frac{15}{x+y+6}=2-\frac{15}{S+6}\left(2\right)$

Với $$-5\le S\le -2$$ thì $1\le S+6\le 4$

$\frac{15}{4}\le \frac{15}{S+6}\le 15$

$2-15\le 2-\frac{15}{S+6}\le 2-\frac{15}{4}$

$-13\le 2-\frac{15}{S+6}\le -\frac{7}{4}$

$-13\le P\le -\frac{7}{4}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P$$ là $$-13$$ khi $x=-5;y=0$.

Và giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ là $\frac{-7}{4}$ khi $$x=-2;y=0.$$