Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án (Đề 9)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $4,2<a<4,3$

$3.4,2<3a<3.4,3$

$12,6<3a<12,9$

$12,6+1,2<3a+1,2<12,9+1,2$

$13,8<3a+1,2<14,1.$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Để cặp số $\left(-2;1\right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{l}2mx+y=m\\ x-my=-1-6m\end{array}$ thì $x=-2$ và $y=1$ phải thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.

Thay $x=-2$ và $y=1$ vào hệ phương trình đã cho, ta được $\{\begin{array}{l}2m\cdot \left(-2\right)+1=m\\ -2-m\cdot 1=-1-6m\end{array}$

hay $\{\begin{array}{l}-4m+1=m\\ -2-m=-1-6m\end{array}$ tức là $\{\begin{array}{l}1=5m\\ 5m=1\end{array}$, suy ra $m=\frac{1}{5}$.

Vậy để cặp số $$\left(-2;1\right)$$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho thì $m=\frac{1}{5}.$

c) Gọi $$x\left(\mathrm{m}\right)$$ là chiều rộng của khu vườn lúc đầu $$\left(x>0\right).$$

$$y\left(\mathrm{m}\right)$$ là chiều rộng của khu vườn lúc đầu $$\left(y>0\right).$$

Khu vườn lúc đầu có chu vi bằng $$68\mathrm{m}$$ nên $$2x+2y=68$$ hay $$x+y=34\left(1\right)$$

Chiều rộng khu vườn sau khi tăng là $$2x\left(\mathrm{m}\right)$$

Chiều dài khu vườn sau khi tăng là $$3y\left(\mathrm{m}\right)$$

Chu vi của khu vườn sau khi tăng là $$2\cdot 2x+2\cdot 3y=178$$ hay $$2x+3y=89\left(2\right)$$

Từ $$\left(1\right)$$ và $$\left(2\right)$$ ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y=34\\ 2x+3y=89\end{array}$.

Từ phương trình thứ nhất ta có $x=34-y$. Thế vào phương trình thứ hai, ta được

$2\left(34-y\right)+3y=89$, tức là $2y=42$, suy ra $y=21\left(\mathrm{TM}\right)$.

Từ đó $x=34-21=13\left(\mathrm{TM}\right)$.

Khi đó, chiều rộng lúc ban đầu là 13 m và chiều dài lúc ban đầu là 21 m.

Diện tích ban đầu của khu vườn là: $13\cdot 21=273\left({\mathrm{m}}^2\right)$.

Vậy diện tích ban đầu của khu vườn là $273{\mathrm{m}}^2.$

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Kẻ $CH\perp AB,H\in AB.$ Khi đó $CH$ là chiều cao của con dốc.

⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $$H,$$ ta có: $\tan \widehat{CAH}=\frac{CH}{AH}$

Suy ra $AH=\frac{CH}{\tan \widehat{CAH}}=\frac{CH}{{tan6}^{\circ }}(\mathrm{m}).$ (1)

⦁ Xét $\Delta BCH$ vuông tại $$H,$$ ta có: $\tan \widehat{CBH}=\frac{CH}{BH}$

Suy ra $BH=\frac{CH}{\tan \widehat{CBH}}=\frac{CH}{{tan4}^{\circ }}(\mathrm{m}).$ (2)

⦁ Từ (1) và (2) ta có: $AH+BH=\frac{CH}{{tan6}^{\circ }}+\frac{CH}{{tan4}^{\circ }}$ hay $AB=CH\cdot \left(\frac{1}{{tan6}^{\circ }}+\frac{1}{{tan4}^{\circ }}\right)$

Do đó $762=CH\cdot \left(\frac{1}{{tan6}^{\circ }}+\frac{1}{{tan4}^{\circ }}\right)$

Suy ra $CH=\frac{762}{\frac{1}{{tan6}^{\circ }}+\frac{1}{{tan4}^{\circ }}}\approx 32(\mathrm{m}).$

Vậy chiều cao của con dốc là 32 m.

b) ⦁ Xét $\Delta ACH$ vuông tại $$H,$$ ta có: $\sin \widehat{CAH}=\frac{CH}{AC}$

Suy ra $AC=\frac{CH}{\sin \widehat{CAH}}\approx \frac{32}{{sin6}^{\circ }}(\mathrm{m})=\frac{4}{125{sin6}^{\circ }}(\mathrm{km}).$ (3)

Xét $\Delta BCH$ vuông tại $$H,$$ ta có: $\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{CB}$

Suy ra $CB=\frac{CH}{\sin \widehat{CBH}}\approx \frac{32}{{sin4}^{\circ }}(\mathrm{m})=\frac{4}{125{sin4}^{\circ }}(\mathrm{km}).$ (4)

⦁ Thời gian lên dốc $$AC$$ là: $$t_{AC}=\frac{S_{AC}}{v_{ld}}=\frac{AC}{v_{ld}}\approx \frac{4}{125{sin6}^{\circ }}:4=\frac{1}{125{sin6}^{\circ }}$$ (giờ).

Thời gian xuống dốc $CB$ là: $$t_{CB}=\frac{S_{CB}}{v_{xd}}=\frac{CB}{v_{xd}}\approx \frac{4}{125{sin4}^{\circ }}:19=\frac{4}{2{375sin4}^{\circ }}$$ (giờ).

Thời gian đi từ $A$ đến $B$ là:

$t_{AB}=t_{AC}+t_{CB}\approx \frac{1}{125\sin 6^{\circ }}+\frac{4}{2{375sin4}^{\circ }}\approx 0,1007$ (giờ) ≈ 6 phút.

Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ + 6 phút = 6 giờ 6 phút.

Hướng dẫn giải

Vì $a,b,c\ge 0;a+b+c=1$ nên $0\le a,b,c\le 1$.

Suy ra $\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le 0$

$abc-\left(ab+bc+ca\right)+a+b+c-1\le 0$

$a+b+c-ab-bc-ac\le 1-abc\le 1$.

Vì $0\le a,b,c\le 1$ nên $a^{2023}\le a;b^{2023}\le b;c^{2023}\le c.$

Suy ra $T\le a+b+c-ab-bc-ca\le 1$ hay $$a^{2024}+b^{2023}+c^{2022}-ab-bc-ca\le 1$$.

Dấu xảy ra khi $\left(a;b;c\right)\in \left\{\left(1;0;0\right);\left(0;1;0\right);\left(0;0;1\right)\right\}$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.