Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều – Đề 8 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

1. Do đường thẳng $y=ax+b$ đi qua điểm $M\left(3;-5\right)$ nên thay $x=3,y=-5$ vào hàm số $y=ax+b,$ ta được: $-5=3a+b$.

Tương tự, do đường thẳng đi qua điểm $N\left(1;2\right)$ nên ta có: $2=a+b$.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}3a+b=-5\\ a+b=2\end{array}$.

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2a=-7,$ suy ra $a=-\frac{7}{2}$.

Thay $a=-\frac{7}{2}$ vào phương trình $a+b=2$, ta được:

$-\frac{7}{2}+b=2,$ suy ra $b=\frac{11}{2}$.

Vậy $a=-\frac{7}{2}$ và $b=\frac{11}{2}$.

2. Gọi số có hai chữ số cần tìm là $\overline{xy}\left(x\in \mathbb{N}\ast ,y\in \mathbb{N}\ast ,0<x\le 9,0\le y\le 9\right).$

Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số mới là $\overline{yx}$.

Ta có: $\overline{xy}=10x+y$ và $\overline{yx}=10y+x$.

Theo bài, nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số mới lớn hơn số đã cho là $63$ nên ta có phương trình: $10y+x=\left(10x+y\right)+63$ hay $-9x+9y=63$ nên $x-y=-7.$ (1)

Mặt khác, tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng $99$ nên ta có phương trình: $\left(10x+y\right)+\left(10y+x\right)=99$ hay $11x+11y=99$ nên $x+y=9.$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}x-y=-7\\ x+y=9.\end{array}$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

$2x=2,$ suy ra $x=1$ (thỏa mãn).

Thay $x=1$ vào phương trình $x+y=9,$ ta được: $1+y=9,$ suy ra $y=8$ (thỏa mãn).

Vậy số cần tìm là $18$.

Hướng dẫn giải

1. Xét $\Delta ABD$ vuông tại $B$, ta có:

⦁ $\sin C=\frac{AB}{BC},$ suy ra $BC=\frac{AB}{\sin C}=\frac{9}{\sin 32^{\circ }}\approx 16,98.$

⦁ $AC=AB\cdot \cot C=9\cdot \cot 32^{\circ }\approx 14,40.$

Vậy $$AC\approx 14,40$$ và $$BC\approx 16,98.$$

2. Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D$, ta có: $DC=AD\cdot \tan \widehat{CAD}=AD\cdot \tan 40^{\circ }$.

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$, ta có: $DB=AD\cdot \tan \widehat{BAD}=AD\cdot \tan 50^{\circ }$.

Ta có: $BC=DB-DC$

Suy ra $4=AD\cdot \tan 50^{\circ }-AD\cdot \tan 40^{\circ }$

$4=AD\cdot \left(\tan 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }\right)$

$AD=\frac{4}{\tan 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }}$.

Do đó $DC=AD\cdot \tan 40^{\circ }=\frac{4\tan 40^{\circ }}{\tan 50^{\circ }-\tan 40^{\circ }}\approx 9,5(\mathrm{m}).$

Như vậy, $CH=CD+DH\approx 9,5+7=16,5(\mathrm{m}).$

Vậy chiều cao của tòa nhà 2 khoảng $16,5\mathrm{m}.$

Hướng dẫn giải

⦁ Với $a,b,c$ là các số thực dương, ta có:

$$\frac{a+c}{b+c}-\frac{a}{b}=\frac{b\left(a+c\right)-a\left(b+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\frac{ab+bc-ab-ac}{b\left(b+c\right)}=\frac{bc-ac}{b\left(b+c\right)}=\frac{c\left(b-a\right)}{b\left(b+c\right)}.$$

Theo bài, $\frac{a}{b}<1$ nên $\frac{b-a}{b}>0$ suy ra $b-a>0$ (do $b>0)$</>

Do đó $$\frac{c\left(b-a\right)}{b\left(b+c\right)}>0$$ với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{a}{b}<1.$

Như vậy, bất đẳng thức $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\left(1\right)$ được chứng minh.

⦁ Với $a,b,c$ là các số thực dương, ta có: $\frac{a}{a+b+c}<1$.

Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được $\frac{a}{a+b+c}<\frac{a+d}{a+b+c+d}.$

Tương tự, ta có: $\frac{b}{b+c+d}<\frac{b+a}{a+b+c+d};\frac{c}{c+d+a}<\frac{c+b}{a+b+c+d};\frac{d}{d+a+b}<\frac{d+a}{a+b+c+d}.$

Suy ra

$\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}<\frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{c+b}{a+b+c+d}+\frac{d+a}{a+b+c+d}$

Do đó $\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}<\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2$. (2)

⦁ Với $a,b,c$ là các số thực dương, ta có: $a+b+c<a+b+c+d$ nên $\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}$.</>

Tương tự, ta có $\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{a+b+c+d};\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{a+b+c+d};\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}.$

Suy ra

$\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}$

Do đó $\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1$. (3)

Từ (2) và (3) suy ra $1<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}<2$.

Như vậy bất đẳng thức $1<\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}<2$ đã được chứng minh.