Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều – Đề 7 (có đáp án)

16 câu · Đề giữa kì 1

4/16 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 12 câu còn lại.

Câu 1

Bạn An sau khi thực hiện các bước phương trình $\frac{2 x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x} = \frac{2}{x ( x + 1 )}$ nhận được kết quả là $x = 0$ và $x = - \frac{3}{2} .$ Khi đó, kết luận bạn An cần viết là

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 2

Phương trình $(x + 4) (8 - x) = 0$ có nghiệm là

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 3

Hệ phương trình ${a x + b y = c a^{'} x + b^{'} y = c^{'}$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 4

Cho hệ phương trình ${x - 2 y = 4 (1) - 2 x + 4 y = - 1 (2)$ và các khẳng định nào sau:

(i) Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, rồi cộng từng vế với phương trình (2), ta nhận được phương trình $0 x = 3.$

(ii) Nhân hai vế của phương trình (1) với 2, rồi cộng từng vế với phương trình (2), ta nhận được phương trình có vô số nghiệm.

(iii) Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 5

Phát biểu “ $x$ không lớn hơn $- 10$ ” được viết là

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 6

Cho $m$ bất kỳ, chọn khẳng định đúng:

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 7

Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 8

Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $x (5 x + 1) + 4 (x + 3) \geq 5 x^{2}$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 9

Cho tam giác

M N P

vuông tại

M .

Khi đó

cot N

bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 10

Cho góc $α$ thỏa mãn $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ . Biết $tan α = \frac{3}{5}$ . Giá trị của $cot (9 0^{\circ} - α)$ bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 11

Trong tam giác vuông $A B C$ nếu có $B = 6 0^{\circ}$ thì tỉ số giữa cạnh góc vuông $A C$ và cạnh huyền $B C$ bằng bao nhiêu?

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 12

Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ , có đường cao $A H$ và $A B = 13 cm$ , $B H = 5 cm .$ Tỉ số lượng giác $sin C$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 13

Câu tự luận

(2,0 điểm)

1. Giải các phương trình sau:

a) $2 x (3 x - 1) + 6 x - 2 = 0$ .

b) $\frac{2}{x - 3} - \frac{3}{x + 3} = \frac{3 ( x + 1 )}{x ^{2} - 9}$ .

2. Giải các bất phương trình sau:

a) $5 - 7 x > 4 (x - 3) - 7.$

b) $\frac{x - 1}{2} - \frac{7 x + 3}{15} \leq \frac{2 x + 1}{3} + \frac{3 - 2 x}{5} .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

1. a) $2 x (3 x - 1) + 6 x - 2 = 0$

$2 x (3 x - 1) + 2 (3 x - 1) = 0$

$(3 x - 1) (2 x + 2) = 0$

$(3 x - 1) \cdot 2 (x + 1) = 0$

$3 x - 1 = 0$ hoặc $x + 1 = 0$

$x = \frac{1}{3}$ hoặc $x = - 1$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = \frac{1}{3};$ $x = - 1$ .

1. b) Điều kiện xác định: $x \neq = - 3$ và $x \neq = 3$ .

$\frac{2}{x - 3} - \frac{3}{x + 3} = \frac{3 ( x + 1 )}{x ^{2} - 9}$

$\frac{2 ( x + 3 )}{( x + 3 ) ( x - 3 )} - \frac{3 ( x - 3 )}{( x + 3 ) ( x - 3 )} = \frac{3 x + 3}{( x + 3 ) ( x - 3 )}$

$2 (x + 3) - 3 (x - 3) = 3 x + 3$

$2 x + 6 - 3 x + 9 = 3 x + 3$

$- x + 15 = 3 x + 3$

$- 4 x = - 12$

$x = 3$ (không thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2. a) $5 - 7 x > 4 (x - 3) - 7$

$5 - 7 x > 4 x - 12 - 7$

$- 7 x - 4 x > - 12 - 7 - 5$

$- 11 x > - 24$

$x < \frac{24}{11} .$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x < \frac{24}{11} .$

2. b) $\frac{x - 1}{2} - \frac{7 x + 3}{15} \leq \frac{2 x + 1}{3} + \frac{3 - 2 x}{5}$

$\frac{15 ( x - 1 )}{30} - \frac{2 ( 7 x + 3 )}{30} \leq \frac{10 ( 2 x + 1 )}{30} + \frac{6 ( 3 - 2 x )}{30}$

$15 (x - 1) - 2 (7 x + 3) \leq 10 (2 x + 1) + 6 (3 - 2 x)$

$15 x - 15 - 14 x - 6 \leq 20 x + 10 + 18 - 12 x$

$x - 21 \leq 8 x + 28$

$- 7 x \leq 49$

$x \geq - 7.$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \geq - 7.$

Câu 14

Câu tự luận

(2,5 điểm)

1. Xác định $a$ và $b$ sao cho hệ phương trình ${a x + 2 b y = - 18 b x - 3 a y = - 3$ nhận cặp số $(- 3; 2)$ làm nghiệm.

2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Một chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài $40$ km hết $4$ giờ $30$ phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng $5$ km bằng thời gian thuyền ngược dòng $4$ km. Tính vận tốc dòng nước.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

1. Để hệ phương trình ${a x + 2 b y = - 18 b x - 3 a y = - 3$ nhận cặp số $(- 3; 2)$ làm nghiệm thì $x = - 3$ và $y = 2$ thỏa mãn hệ phương trình. Khi đó, ta có ${a \cdot (- 3) + 2 b \cdot 2 = - 18 b \cdot (- 3) - 3 a \cdot 2 = - 3$ hay ${- 3 a + 4 b = - 18 - 6 a - 3 b = - 3$ .

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với $\frac{4}{3},$ ta được hệ phương trình mới ${- 3 a + 4 b = - 18 - 8 a - 4 b = - 4$ .

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

$- 11 a = - 22$ suy ra $a = 2$ .

Thay $a = 2$ vào phương trình $- 3 a + 4 b = - 18$ , ta được:

$- 3 \cdot 2 + 4 b = - 18$ , suy ra $4 b = - 12$ nên $b = - 3$ .

Vậy $a = 2$ và $b = - 3$ .

2. Gọi $x, y$ (km/h) lần lượt là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng và vận tốc dòng nước $(x > y > 0) .$

Vận tốc của thuyền khi đi xuôi dòng là: $x + y$ (km/h).

Vận tốc của thuyền khi đi ngược dòng là: $x - y$ (km/h).

⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng $40$ km là: $\frac{40}{x + y}$ (giờ).

Thời gian thuyền đi ngược dòng $40$ km là: $\frac{40}{x - y}$ (giờ).

Theo bài, chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài $40$ km hết $4$ giờ $30$ phút $(= 4, 5$ giờ) nên ta có phương trình: $\frac{40}{x + y} + \frac{40}{x - y} = 4, 5$ . (1)

⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng $5$ km là: $\frac{5}{x + y}$ (giờ).

Thời gian thuyền đi ngược dòng $4$ km là: $\frac{4}{x - y}$ (giờ).

Theo bài, thời gian thuyền xuôi dòng $5$ km bằng thời gian thuyền ngược dòng $4$ km nên ta có phương trình: $\frac{5}{x + y} = \frac{4}{x - y}$ . (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình:

${\frac{40}{x + y} + \frac{40}{x - y} = 4, 5 \frac{5}{x + y} = \frac{4}{x - y}$ hay ${\frac{40}{x + y} + \frac{40}{x - y} = 4, 5 \frac{5}{x + y} - \frac{4}{x - y} = 0$

Cách 1. Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 8, ta được ${\frac{40}{x + y} + \frac{40}{x - y} = 4, 5 \frac{40}{x + y} - \frac{32}{x - y} = 0$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$\frac{72}{x - y} = 4, 5,$ suy ra $\frac{1}{x - y} = 0, 0625$ nên $x - y = 16.$ (3)

Thay $\frac{1}{x - y} = 0, 0625$ vào phương trình $\frac{5}{x + y} = \frac{4}{x - y},$ ta được:

$\frac{5}{x + y} = 4 \cdot 0, 0625$ suy ra $\frac{5}{x + y} = 0, 25$ nên $x + y = 20$ . (4)

Từ phương trình (3) và phương trình (4), ta có hệ phương trình: ${x + y = 20 x - y = 16.$

Cách 2. Đặt $a = \frac{1}{x + y}$ và $b = \frac{1}{x - y}$ $(a > 0; b > 0)$ , ta có hệ phương trình:

${40 a + 40 b = 4, 5 5 a = 4 b$ hay ${40 a + 40 b = 4, 5 5 a - 4 b = 0$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 10, ta được: ${40 a + 40 b = 4, 5 50 a - 40 b = 0$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

$90 a = 4, 5$ , suy ra $a = \frac{1}{20}$ (thỏa mãn).

Thay $a = \frac{1}{20}$ vào phương trình $5 a = 4 b$ , ta được:

$5 \cdot \frac{1}{20} = 4 b,$ suy ra $b = \frac{1}{16}$ (thỏa mãn).

Với $b = \frac{1}{16}$ ta có: $\frac{1}{x - y} = \frac{1}{16}$ suy ra $x - y = 16$ . (3’)

Với $a = \frac{1}{20}$ ta có $\frac{1}{x + y} = \frac{1}{20}$ suy ra $x + y = 20$ . (4’)

Từ phương trình (3’) và phương trình (4’), ta có hệ phương trình: ${x + y = 20 x - y = 16.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

$2 x = 36,$ suy ra $x = 18$ (thỏa mãn).

Thay $x = 18$ vào phương trình $x + y = 20$ , ta được:

$18 + y = 20$ , suy ra $y = 2$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc dòng nước là 2 km/h.

Câu 15

Câu tự luận

(2,0 điểm)

1. Cho tam giác $A B C$ có đường cao $A H = 5 cm, B = 7 0^{\circ}, C = 3 5^{\circ} .$ Tính độ dài các cạnh của tam giác $A B C$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

2. Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm như hình vẽ. Thiết bị này có góc chiếu sáng là $2 0^{\circ}$ và cần đặt cao hơn mặt đất là $2, 5 m .$ Người ta đặt thiết bị chiếu sáng này sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường $2 m .$ Tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn giải

Với hai số thực $a, b$ thỏa mãn $a + b \neq = 0$ , ta có:

\({a^2} + {b^2} + {\lef

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

1. Xét tam giác $A H B$ vuông tại $H$ ta có:

⦁ $sin B = \frac{A H}{A B}$ , suy ra $A B = \frac{A H}{s i n B} = \frac{5}{s i n 7 0 ^{\circ}} \approx 5, 32 (cm);$

⦁ $B H = A H \cdot cot B = 5 \cdot cot 7 0^{\circ} \approx 1, 82 (cm) .$

Xét tam giác $A H C$ vuông tại $H$ ta có:

⦁ $sin C = \frac{A H}{A C}$ , suy ra $A C = \frac{A H}{s i n C} = \frac{5}{s i n 3 5 ^{\circ}} \approx 8, 72 (cm);$

⦁ $C H = A H \cdot cot C = 5 \cdot cot 3 5^{\circ} \approx 7, 14 (cm) .$

Khi đó $B C = B H + H C \approx 1, 82 + 7, 14 = 8, 96 (cm) .$

Vậy $A B \approx 5, 32 cm, A C \approx 8, 72 cm, B C \approx 8, 96 cm .$

2. Hình ảnh thiết bị chiếu sáng trong bài toán được mô tả như hình vẽ bên, trong đó $A$ là vị trí đặt thiết bị chiếu sáng, $C D$ là độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất và $C A D = 2 0^{\circ}$ là góc chiếu sáng. Khi đó ta có $A B = 2, 5 m$ và $B C = 2 m .$

⦁ Xét $Δ A B C$ vuông tại $B$ , ta có:

$tan B A C = \frac{B C}{A B} = \frac{2}{2 , 5} = 0, 8$ nên $B A C \approx 38, 7^{\circ} .$

Ta có $B A D = B A C + C A D \approx 38, 7^{\circ} + 2 0^{\circ} = 58, 7^{\circ} .$

⦁ Xét $Δ A B D$ vuông tại $B$ , ta có

$B D = A B \cdot tan B A D \approx 2, 5 \cdot tan 58, 7^{\circ} \approx 4, 1 (m) .$

Do đó $C D = B D - B C \approx 4, 1 - 2 = 2, 1 (m) .$

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất khoảng $2, 1$ mét.

(2,0 điểm)

1. Cho tam giác $A B C$ có đường cao \(AH = 5\,\,{\rm{cm}},\,\,\widehat {B\,} = 70^\circ ,\,\,\widehat

Câu 16

Câu tự luận

(0,5 điểm) Cho hai số thực $a, b$ thỏa mãn $a + b \neq = 0.$ Chứng minh bất đẳng thức sau:

$a^{2} + b^{2} + (\frac{ab + 1}{a + b})^{2} \geq 2.$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

Với hai số thực $a, b$ thỏa mãn $a + b \neq = 0$ , ta có:

$a^{2} + b^{2} + (\frac{ab + 1}{a + b})^{2} - 2 = a^{2} + b^{2} + \frac{( ab + 1 ) ^{2}}{( a + b ) ^{2}} - 2$

$= a^{2} + b^{2} + 2 ab - 2 ab + \frac{( ab + 1 ) ^{2}}{( a + b ) ^{2}} - 2$

$= (a + b)^{2} - 2 ab + \frac{( ab + 1 ) ^{2}}{( a + b ) ^{2}} - 2$

$= (a + b)^{2} - 2 (ab + 1) + \frac{( ab + 1 ) ^{2}}{( a + b ) ^{2}}$

$= \frac{( a + b ) ^{4} - 2 ( a + b ) ^{2} ( ab + 1 ) + ( ab + 1 ) ^{2}}{( a + b ) ^{2}}$

$= \frac{[ ( a + b ) ^{2} - ( ab + 1 ) ] ^{2}}{( a + b ) ^{2}}$ .

Với $a + b \neq = 0$ ta có $(a + b)^{2} > 0$ và $[(a + b)^{2} - (ab + 1)]^{2} \geq 0$

Do đó $\frac{[ ( a + b ) ^{2} - ( ab + 1 ) ] ^{2}}{( a + b ) ^{2}} \geq 0$ nên $a^{2} + b^{2} + (\frac{ab + 1}{a + b})^{2} - 2 \geq 0$ hay $a^{2} + b^{2} + (\frac{ab + 1}{a + b})^{2} \geq 2.$

Vậy bất đẳng thức $a^{2} + b^{2} + (\frac{ab + 1}{a + b})^{2} \geq 2$ đã được chứng minh.

làm \ right)}^2}}} {{{{\ left ({a + b} \ right)}^2}}}} \]