Đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều – Đề 5 (có đáp án)

11 câu · Đề giữa kì 1

5/11 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 6 câu còn lại.

Câu 1

Giá trị $x = 0$ và $x = - 1$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 2

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình $x - 2 y = 0$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 3

Giá trị $sin 2 7^{\circ}$ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) bằng

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 4

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $B C = a, A C = b, A B = c$ . Hệ thức nào sau đây là sai?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 5

Câu tự luận

Cho hai số $a, b$ và $a > 1 > b .$

a) $a - 1 > 0.$ b) $a - b < 0.$

c) $(a - 1) (b - 1) < 0.$ d) $a - 2 b < - 1.$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Đáp án: a) Đ; b) S; c) Đ; d) S.

⦁ Do $a > 1$ nên $a - 1 > 0$ . Do đó ý a) là đúng.

⦁ Do $a > b$ nên $a - b > 0$ . Do đó ý b) là sai.

⦁ Do $1 > b$ hay $b < 1$ nên $b - 1 < 0$ , mà $a - 1 > 0$ suy ra $(a - 1) (b - 1) < 0.$ Do đó ý c) là đúng.

⦁ Ta có $a - 2 b = (a - 1) - 2 (b - 1) - 1$

Do $b - 1 < 0$ nên $- 2 (b - 1) > 0$ .

Lại có $a - 1 > 0$ nên $(a - 1) - 2 (b - 1) > 0,$ suy ra $(a - 1) - 2 (b - 1) - 1 > - 1$

Như vậy $2 a - b > - 1.$ Do đó ý d) là sai.

Câu 6

Xác định cặp số $(a; b)$ thỏa mãn hệ phương trình ${x + a y = 3 a x - 3 b y = 4$ có nghiệm là $(- 1; 2) .$

Đáp án và lời giải

Đáp án: \(\left( {2

Câu 7

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có $A B = 5 cm$ và đường cao $A H = 3 cm .$ Tính số đo góc $C$ (làm tròn kết quả đến phút).

Đáp án và lời giải

Đáp án: \(\widehat {C\,} \approx 53^\circ 8'

Câu 8

Câu tự luận

(2,5 điểm)

1. Giải các phương trình sau:

a) $(\frac{1}{2} x - 1) (3 + 5 x) = 0.$

b) $\frac{x + 2}{x - 2} = \frac{x - 2}{x + 2} + \frac{16}{x ^{2} - 4} .$

2. Giải các bất phương trình sau:

a) $5 + \frac{2}{3} x > 3$ .

b) $(x - 1)^{2} < x (x + 3) .$

c) $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{x + 2}{2} < \frac{5 x + 4}{6} .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

1. a) $(\frac{1}{2} x - 1) (3 + 5 x) = 0$

$\frac{1}{2} x - 1 = 0$ hoặc $3 + 5 x = 0$

$\frac{1}{2} x = 1$ hoặc $5 x = - 3$

$x = 2$ hoặc $x = - \frac{3}{5}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 2;$ $x = - \frac{3}{5}$ .

1. b) Điều kiện xác định: $x \neq = 2, x \neq = - 2.$

$\frac{x + 2}{x - 2} = \frac{x - 2}{x + 2} + \frac{16}{x ^{2} - 4}$

$\frac{( x + 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )} + \frac{16}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$

$(x + 2)^{2} = (x - 2)^{2} + 16$

$x^{2} + 4 x + 4 = x^{2} - 4 x + 4 + 16$

$8 x = 16$

$x = 2$ (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2. a) $5 + \frac{2}{3} x > 3$

$\frac{2}{3} x > - 2$

$\frac{2}{3} x \cdot \frac{3}{2} > - 2 \cdot \frac{3}{2}$

$x > - 3$ .

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x > - 3$ .

2. b) $(x - 1)^{2} < x (x + 3)$

$x^{2} - 2 x + 1 < x^{2} + 3 x$

$- 5 x < - 1$

$x > \frac{1}{5}$

Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là $x > \frac{1}{5}$ .

2. c) $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{x + 2}{2} < \frac{5 x + 4}{6} .$

$\frac{2 ( 2 x - 1 )}{6} - \frac{3 ( x + 2 )}{6} < \frac{5 x + 4}{6}$

$2 (2 x - 1) - 3 (x + 2) < 5 x + 4$

$4 x - 2 - 3 x - 6 < 5 x + 4$

$x - 8 < 5 x + 4$

$x - 5 x < 4 + 8$

$- 4 x < 12$

$x > - 3$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x > - 3$ .

Câu 9

Câu tự luận

(2,0 điểm)

1. Tìm các hệ số $x$ và $y$ trong phản ứng hóa học đã được cân bằng sau:

$x KCl O_{3} \to 2 KCl + y O_{2} .$

Từ đó, hãy hoàn thiện phương trình phản ứng hóa học sau khi được cân bằng.

2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Một nhóm khách vào cửa hàng bán trà sữa. Nhóm khách đó đã mua 6 cốc trà sữa gồm trà sữa trân châu và trà sữa phô mai. Giá mỗi cốc trà sữa trân châu, trà sữa phô mai lần lượt là $33000$ đồng và $28000$ đồng. Tổng số tiền nhóm khách thanh toán cho cửa hàng là $188000$ đồng. Tính số cốc trà sữa mỗi loại mà nhóm khách đó đã mua.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

1. Vì số nguyên tử của $K, Cl$ và $O$ ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có $⎩ ⎨ ⎧ x = 2 x = 2 3 x = 2 y$ hay ${x = 2 3 x = 2 y$

Thay $x = 2$ vào phương trình $3 x = 2 y,$ ta được:

$3 \cdot 2 = 2 y$ suy ra $2 y = 6,$ nên $y = 3.$

Vậy $x = 2$ và $y = 3.$ Khi đó ta hoàn thiện phương trình phản ứng hóa học sau cân bằng như sau:

$2 KCl O_{3} \to 2 KCl + 3 O_{2} .$

2. Gọi $x$ (cốc) và $y$ (cốc) lần lượt là số cốc trà sữa trân châu, trà sữa phô mai mà nhóm khách đó đã mua $(0 \leq x \leq 6, 0 \leq y \leq 6, x \in N, y \in N)$ .

Theo bài, nhóm khách đó đã mua 6 cốc trà sữa hai loại nên ta có phương trình $x + y = 6$ . (1)

Số tiền nhóm khách cần trả để mua $x$ (cốc) trà sữa trân châu là: $33 x$ (nghìn đồng).

Số tiền nhóm khách cần trả để mua $y$ (cốc) trà sữa phô mai là $28 y$ (nghìn đồng).

Theo bài, tổng số tiền nhóm khách thanh toán cho cửa hàng là $188000$ đồng nên ta có phương trình: $33 x + 28 y = 188$ . (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: ${x + y = 6 33 x + 28 y = 188$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 33, ta được hệ phương trình mới ${33 x + 33 y = 198 33 x + 28 y = 188$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$5 y = 10$ hay $y = 2$ (thỏa mãn).

Thay $y = 2$ vào phương trình (1), ta được: $x + 2 = 6$ , suy ra $x = 4$ (thỏa mãn).

Vậy nhóm khách đó đã mua $4$ cốc trà sữa trân châu và $2$ cốc trà sữa phô mai.

Câu 10

Câu tự luận

(2,5 điểm)

1. Cho tam giác $A B C$ có $A B = 4 cm$ , $B C = 4, 5 cm,$ $B = 4 0^{\circ}$ . Gọi $A H$ là đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác. Tính độ dài các đoạn thẳng $A H, B H, A C$ và số đo góc $C$ của tam giác $A B C$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của cm và làm tròn đến phút của số đo góc).

2. Cánh tay robot đặt trên mặt đất và có vị trí như hình vẽ bên. Tính độ cao của điểm $A$ trên đầu cánh tay robot so với mặt đất.

(2,5 điểm) 1. Cho tam giác A B C có A B = 4 c m , B C = 4 , 5 c m , ˆ B = 40 ∘ . Gọi A H là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác. Tính độ dài các đoạn thẳng A H , B H , A C và số đo góc C của tam giác A B C (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của cm và làm tròn đến phút của số đo góc). (ảnh 1)

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

1. Xét $Δ A B H$ vuông tại $H,$ ta có:

$A H = A B \cdot sin B = 4 \cdot sin 4 0^{\circ} \approx 2, 57$ (cm);

$B H = A B \cdot cos B = 4 \cdot cos 4 0^{\circ} \approx 3, 06$ (cm).

Ta có $B C = B H + H C$

Suy ra $H C = B C - B H \approx 4, 5 - 3, 06 = 1, 44$ (cm).

(2,5 điểm) 1. Cho tam giác A B C có A B = 4 c m , B C = 4 , 5 c m , ˆ B = 40 ∘ . Gọi A H là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác. Tính độ dài các đoạn thẳng A H , B H , A C và số đo góc C của tam giác A B C (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của cm và làm tròn đến phút của số đo góc). (ảnh 2)

Xét $Δ A H C$ vuông tại $H$ , theo định lí Pythagore, ta có:

$A C^{2} = A H^{2} + H C^{2} \approx 2, 5 7^{2} + 1, 4 4^{2} = 8, 6785$

Suy ra $A C \approx 2, 95$ (cm).

Trong $Δ A H C$ , ta cũng có: $tan C = \frac{A H}{H C} \approx \frac{2 , 57}{1 , 44} = \frac{257}{144} .$ Suy ra $C \approx 6 0^{\circ} 4 4^{'} .$

2. Xét $Δ B C N$ vuông tại $N,$ ta có:

$B N = B C \cdot sin B C N = 60 \cdot sin 3 2^{\circ} \approx 31, 80 (cm) .$

Ta thấy $N C$ và $B M$ là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang nên $N C // B M,$ suy ra $C B M = B C N = 3 2^{\circ}$ (so le trong).

Khi đó, $A B M = A B C - C B M = 5 3^{\circ} - 3 2^{\circ} = 2 1^{\circ}$ .

Xét $Δ A B M$ vuông tại $M$ , ta có:

$A M = A B \cdot sin A B M = 60 \cdot sin 2 1^{\circ} \approx 21, 50$ (cm).

Vậy, độ cao của điểm $A$ trên đầu cánh tay robot so với mặt đất là:

$A M + B N + C P \approx 21, 50 + 31, 80 + 17 = 70, 3$ (cm).

Câu 11

Câu tự luận

(0,5 điểm) Cho tam giác nhọn $A B C$ . Chứng minh:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} B A \cdot B C \cdot sin B = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot sin A = \frac{1}{2} C A \cdot C B \cdot sin C$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

Kẻ đường cao $A H$ $(H \in B C)$ .

Xét $Δ A B H$ vuông tại $H$ có: $A H = A B \cdot sin B$ .

Do đó $S_{A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot A H = \frac{1}{2} B C \cdot A B \cdot sin B$ .

Chứng minh tương tự ta có:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot sin A = \frac{1}{2} C A \cdot C B \cdot sin C$ .

(0,5 điểm) Cho tam giác nhọn A B C . Chứng minh: S A B C = 1 2 B A ⋅ B C ⋅ sin B = 1 2 A B ⋅ A C ⋅ sin A = 1 2 C A ⋅ C B ⋅ sin C . (ảnh 1)

Vậy $S_{A B C} = \frac{1}{2} B A \cdot B C \cdot sin B = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot sin A = \frac{1}{2} C A \cdot C B \cdot sin C$ .