Đề thi cuối kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo (2023-2024) – Đề 4 (có đáp án)

a) $$\frac{4x+13}{5x\left(x-7\right)}+\frac{x-48}{5x\left(x-7\right)}=\frac{4x+13+x-48}{5x\left(x-7\right)}=\frac{5x-35}{5x\left(x-7\right)}=\frac{5\left(x-7\right)}{5x\left(x-7\right)}=\frac{1}{x}.$$                      

b) $$\frac{x+2}{2x-4}+\frac{-4x}{x^2-4}=\frac{x+2}{2\left(x-2\right)}+\frac{-4x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$

$$=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{-4x\cdot 2}{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^2+4x+4-8x}{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^2-4x+4}{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$

$$=\frac{{\left(x-2\right)}^2}{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{x-2}{2\left(x+2\right)}.$$

a) Diện tích xung quanh của khối kim loại là: $S_{xq}=4\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\right)=120\left(\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2\right).$

b) Diện tích mặt đáy của khối kim loại là:

Diện tích cần sơn là: $120+100=220\left(\mathrm{d}{\mathrm{m}}^2\right)=2,2\left({\mathrm{m}}^2\right).$

Số kg sơn cần để sơn hết tất cả các mặt ngoài của khối kim loại là:

$\frac{2,2}{5}\cdot 6,25=2,75\left(\mathrm{kg}\right).$

Số tiền phải trả cho $$2,75\mathrm{kg}$$ sơn là: $$2,75\cdot 200000=550000$$ (đồng).

Số tiền phải trả khi sơn khối kim loại là: $550000+350000=900000$ (đồng).

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $$A$$ có $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AM=\frac{1}{2}BC.$

Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB=MC=\frac{1}{2}BC,$ do đó $AM=MB=MC=\frac{1}{2}BC.$

Ta có $AM=DE$ và $AM=MC$ nên $DE=MC.$

Xét $\Delta DME$ (vuông tại $M)$ và $\Delta CEM$ (vuông tại $E)$ có:

$ME$ là cạnh chung và $ED=MC$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta DME=\Delta CEM$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $DM=CE$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AE=DM$ nên $AE=CE$ hay $E$ là trung điểm của $AC.$

Xét tứ giác $AMCF$ có $E$ là trung điểm của $MF$ và $AC$ nên $AMCF$ là hình bình hành.

Hình bình hành $AMCF$ có $AM=MC$ nên là hình thoi.

c) Ta có $DM=MN$ (do $N$ đối xứng với $D$ qua $M)$ nên $DN=2DM.$

Vì $E$ là trung điểm của $AC$ nên $AC=2AE.$

Mà $DM=AE$ nên $DN=AC.$

Xét tứ giác $ADNC$ có $DN//AC$ (cùng vuông góc với $AB)$ và $DN=AC$ nên $ADNC$ là hình bình hành. Lại có $\widehat{DAC}=90^{\circ }$ nên $ADNC$ là hình chữ nhật.

Do đó hai đường chéo $AN$ và $DC$ của hình chữ nhật này bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Gọi $I$ là giao điểm của $AN$ và $CD.$ Khi đó $I$ là trung điểm của $AN$ và $CD.$

Xét $\Delta DHC$ vuông tại $H$ có $HI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $DC$ nên $IH=\frac{1}{2}DC.$

Mà $AN=DC$ nên $IH=\frac{1}{2}AN.$

Xét $\Delta AHN$ có $HI$ là đường trung tuyến và $IH=\frac{1}{2}AN$ nên $\Delta AHN$ vuông tại $H$ hay $AH\perp HN.$