Đề thi cuối kì 1 Toán 8 Cánh Diều (2023-2024) – Đề 6 (có đáp án)

10 câu · Đề cuối kì 1

6/10 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 4 câu còn lại.

Câu 1

Kết quả phép chia đa thức $3 x^{2} y + 3 x y^{2}$ cho đơn thức $3 x y$ có kết quả là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 2

Giá trị của biểu thức $- 9 x^{2} - 6 x + 5$ tại $x = - \frac{1}{3}$ là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 3

Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc là:

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 4

Trong các điểm sau, điểm nào thuộc đồ thị hàm số: y = 2x +3 ?

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 5

Câu tự luận

1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^{2} - - x y + 5 x - - 5 y .$ b) $x^{2} - 2 x y - 25 + y^{2} .$

2) Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến $x :$

$A = (x - - 5) (x + 5) - - x (x + 1) + x + 12.$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1.a) $x^{2} - - x y + 5 x - - 5 y$

$= (x^{2} - - x y) + (5 x - - 5 y) = x (x - y) + 5 (x - y)$

= (x - - y) (x + 5) .

b) $x^{2} - 2 x y - 25 + y^{2}$

$= (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 25 = (x - y)^{2} - 5^{2}$

= (x - y - 5) (x - y + 5) .

2. Ta có: $A = (x - - 5) (x + 5) - - x (x + 1) + x + 12.$

$= x^{2} - 25 - x^{2} - x + x + 12$

$= (x^{2} - x^{2}) + (x - x) + (- 25 + 12)$

$= 0 + 0 + (- 13) = - 13.$

Vậy giá trị của biểu thức

A

không phụ thuộc vào giá trị của biến

x .

Câu 6

Câu tự luận

Cho biểu thức: $A = (\frac{x}{x ^{2} - 4} - \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}) : \frac{3}{x - 2}$ với $x \neq = \pm 2.$

a) Rút gọn biểu thức $A .$

b) Tính giá trị của $A$ khi $x$ thoả mãn: $x^{2} - 2 x = 0.$

c) Tìm $x$ nguyên lớn nhất để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

$A = (\frac{x}{x ^{2} - 4} - \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}) : \frac{3}{x - 2}$ (ĐKXĐ: $x \neq = \pm 2)$

$= (\frac{x}{( x - 2 ) ( x + 2 )} - \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}) : \frac{3}{x - 2}$

$= [\frac{x}{( x - 2 ) ( x + 2 )} - \frac{2 ( x + 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} + \frac{1 ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )}] . \frac{x - 2}{3}$

$= \frac{x - 2 x - 4 + x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} \cdot \frac{x - 2}{3}$

$= \frac{- 6}{( x - 2 ) ( x + 2 )} \cdot \frac{x - 2}{3}$

$= \frac{- 2}{x + 2} .$

Vậy

A = \frac{- 2}{x + 2}

với

x \neq = \pm 2.

b) Ta có: $x^{2} - 2 x = 0$

$x (x - 2) = 0$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x - 2 = 0$

Do đó $x = 0$ (thỏa mãn) hoặc $x = 2$ (không thỏa mãn)

Với $x = 0$ thay vào biểu thức $A$ ta được: $A = \frac{- 2}{0 + 2} = - 1.$

Vậy $A = - 1$ khi $x$ thỏa mãn: $x^{2} - 2 x = 0.$

c) Ta có: $A = \frac{- 2}{x + 2}$ với $x \neq = \pm 2$

Do $x$ nguyên nên $x + 2$ nguyên.

Khi đó biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên khi $\frac{- 2}{x + 2}$ nhận giá trị nguyên, tức là $2 ⋮ (x + 2)$ hay $x + 2$ là ước của 2

Do đó $x + 2 \in {\pm 1; \pm 2} .$

Vì $x$ là số nguyên lớn nhất nên $x + 2$ nhận ước nguyên lớn nhất, do đó $x + 2 = 2$ suy ra $x = 2 - 2 = 0$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 0$ là giá trị cần tìm.

Câu 7

Câu tự luận

Cho hàm số: $y = (m - - 1) x - 1$ có đồ thị là đường thẳng $d .$

1) Tìm điều kiện của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất.

2) Khi $m = 3,$ hãy vẽ đồ thị hàm số rồi tính khoảng cách từ gốc toạ độ $O (0; 0)$ đến đường thẳng $d .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

1) Để hàm số $y = (m - - 1) x - 1$ là hàm số bậc nhất thì $m - 1 \neq = 0,$ tức là $m \neq = 1$ .

Vậy với $m \ne 1$ thì hàm số trên là hàm số bậc nhất.

2) Vẽ đồ thị hàm số:

+ Với $m = 3$ hàm số trở thành: $y = 2 x - 1$ .

+ Cho $x = 0$ thì $y = - 1$ ta được $A (0; - 1) \in O y .$

+ Cho $y = 0$ thì $x = \frac{1}{2}$ ta được $B (\frac{1}{2}; 0) \in O x .$

+ Vẽ đồ thị hàm số.

Cho hàm số: y = ( m -1 ) x - 1 có đồ thị là đường thẳng d 1) Tìm điều kiện của m để hàm số trên là hàm số bậc nhất. (ảnh 1)

Vậy với

m = 3 :

đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua 2 điểm

A (0; - 1)

và

B (\frac{1}{2}; 0) .

Khi $m = 3,$ đồ thị hàm số $y = 2 x - 1$ cắt trục $O y$ tại điểm $A (0; - 1)$ nên $O A = ∣ - 1 ∣ = 1$ và cắt trục $O x$ tại điểm $B (\frac{1}{2}; 0)$ nên $O B = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} .$

+ Do tam giác

O A B

vuông tại

O

nên áp dụng định lý Pythagore tính được

A B = \frac{5}{2} .

+ Vẽ $O H ⊥ (d)$ $(H$ thuộc $d),$ suy ra khoảng cách từ $O (0; 0)$ đến $d$ bằng $O H .$

Ta có: $O A \cdot O B = O H \cdot A B (= 2 S_{O A B}) . (1)$

Từ đó tính được

O H = \frac{1}{5} .

Câu 8

Câu tự luận

Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ có đường cao $A H .$ Từ $H$ kẻ $H N ⊥ A C,$ $H M ⊥ A B .$

a) Chứng minh tứ giác $A M H N$ là hình chữ nhật.

b) Lấy $D$ sao cho $M$ là trung điểm của $D H,$ lấy $E$ sao cho $N$ là trung điểm của $E H .$ Chứng minh tứ giác $A M N E$ là hình bình hành.

c) Chứng minh: $B C^{2} = B D^{2} + C E^{2} + 2 B H \cdot H C .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Cho Delta ABCvuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ HN vuông gócAC, HM vuông góc AB (ảnh 1)

Xét tứ giác $A M N H$ có:

$M A N = 9 0^{\circ}$ $(Δ A B C$ vuông tại $A)$ ;

$A M H = 9 0^{\circ}$ $(H M ⊥ A B)$ ;

$A N H = 9 0^{\circ}$ $(H N ⊥ A C)$ .

Vậy tứ giác

A M H N

là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

b) Tứ giác: $A M N E$ có:

$A M = H N$ (cạnh đối hình chữ nhật $A M H N);$

$E N = H N$ $(N$ là trung điểm của $E H)$

$\Rightarrow A M = N E$

Lại có $A M // N E$ $(A M // H N$ và $H, N, E$ thẳng hàng).

Vậy tứ giác

A M N E

là hình bình hành (Tứ giác có 2 cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành).

c) Ta có $A B ⊥ D H$ tại $M$ (gt) và $M$ là trung điểm của $D H$ (gt) nên $A B$ là đường trung trực của $D H$ suy ra $B D = B H$ (1)

Tương tự có $C E = H C$ (2)

Do $B C = B H + H C$ nên $B C^{2} = B H^{2} + H C^{2} + 2 B H . H C$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

B C^{2} = B D^{2} + E C^{2} + 2 B H \cdot H C

(đpcm).

Câu 9

Câu tự luận

Một khối Rubik có dạng hình chóp tam giác đều. Biết chiều cao bằng 5,2 cm, thể tích của khối Rubic là 45,24 cm3. Tính diện tích đáy của khối Rubik.

Một khối Rubik có dạng hình chóp tam giác đều. Biết chiều cao bằng 5,2 cm (ảnh 1)

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Diện tích đáy của khối Rubik đó là:

Ta có: $V = \frac{1}{3} S h$ suy ra $S = \frac{3 V}{h} = \frac{3 \cdot 45 , 24}{5 , 2} = 26, 1 (c m^{2}) .$

Vậy diện tích đáy của khối Rubik là

26, 1 c m^{2} .

Câu 10

Câu tự luận

Cho 3 số $a, b, c$ thỏa mãn đồng thời: $a + b + c = 6$ và $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 12$ . Tính giá trị của biểu thức: $P = (a - 3)^{2023} + (b - 3)^{2023} + (c - 3)^{2023}$ .

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Ta có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 12$

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - 12 = 0$

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - 24 + 12 = 0$

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - 4 (a + b + c) + 12 = 0$

$a^{2} - 4 a + 4 + b^{2} - 4 b + 4 + c^{2} - 4 c + 4 = 0$

$(a - 2)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 2)^{2} = 0$

Suy ra

⎩ ⎨ ⎧ a - 2 = 0 b - 2 = 0 c - 2 = 0

, tức là

a = b = c = 2

Thay $a = b = c = 2$ vào $P,$ ta được

$P = (2 - 3)^{2023} + (2 - 3)^{2023} + (2 - 3)^{2023}$

$= (- 1)^{2023} + (- 1)^{2023} + (- 1)^{2023} = - 3.$

Vậy

P = - 3

khi

a, b, c

thỏa mãn đề bài.