Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo – Đề 3 (có đáp án)

Hướng dẫn giải:

c) $$\frac{x}{x+1}+\frac{2x+5}{x-1}-\frac{3x^2-1}{x^2-1}$$

$$=\frac{x}{x+1}+\frac{2x+5}{x-1}-\frac{3x^2-1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$$

$$=\frac{x\left(x-1\right)+\left(2x+5\right)\left(x+1\right)-\left(3x^2-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$$

$$=\frac{x^2-x+2x^2+2x+5x+5-3x^2+1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$$

$$=\frac{6x+6}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{6\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{6}{x-1}$$.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Cửa hàng đã thu thập dữ liệu được biểu diễn trong biểu đồ trên bằng phương pháp phỏng vấn 1 000 khách hàng. Đây là phương pháp thu thập trực tiếp.

b) Hãy chuyển đổi dữ liệu từ biểu đồ trên sang dạng bảng thống kê theo mẫu sau:

c) Nếu cửa hàng muốn kinh doanh một món ẩm thực duy nhất thì cửa hàng nên ưu tiên chọn món Phở. Vì đây là món ăn được khách hàng lựa chọn nhiều nhất (chiếm $$45\%).$$

Hướng dẫn giải:

1. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $$ABC$$ vuông tại $$A$$, ta có:

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2={\left(15,5\right)}^2+7^2=289,25$

Suy ra  $$BC=\sqrt{289,25}\approx 17(\mathrm{cm})$$.

Vì $1\mathrm{inch}\approx 2,54\mathrm{cm}$ nên chiếc điện thoại theo hình vẽ có: $\frac{17}{2,54}\approx 7(\mathrm{inch})$

Vậy chiếc điện thoại theo hình vẽ khoảng 7 inch.

2.

a) Ta có $AP\perp BC;AQ\parallel BC$ suy ra $AP\perp AQ$ hay $\widehat{PAQ}=90^{\circ }$.

Vì $AP\perp BC,CQ\perp AD$ nên $\widehat{APQ}=90^{\circ };\widehat{AQC}=90^{\circ }$.

Tứ giác $APCQ$ có $\widehat{PAQ}=90^{\circ }$; $\widehat{APQ}=90^{\circ };\widehat{AQC}=90^{\circ }$ nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo $AC,PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $N$ là trung điểm của $AC$ nên $N$ là trung điểm của $PQ$.

b) Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại trung điểm $N$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

Để tứ giác $ABCD$ là hình vuông thì ta cần $AB\perp BC,AB=BC$ hay $\Delta ABC$ vuông cân tại $B.$

Vậy để tứ giác $ABCD$ là hình vuông thì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B.$

Hướng dẫn giải

Ta có $${\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$$

Theo bài, $${\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2$$ nên suy ra $$ab+bc+ca=0.$$

Đặt $$x=ab;y=bc;z=ca.$$

Khi đó $$x+y+z=0.$$ Suy ra $x+y=-z;y+z=-x;z+x=-y.$

Xét $$\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=\left(1+\frac{ab}{bc}\right)\left(1+\frac{bc}{ca}\right)\left(1+\frac{ca}{ab}\right)$$

$$=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)$$

$$=\left(\frac{y+x}{y}\right)\left(\frac{z+y}{z}\right)\left(\frac{x+z}{x}\right)$$

$$=\frac{-z}{y}.\frac{-x}{z}.\frac{-y}{x}=-1.$$

Xét $$\frac{a^3{b}^3+b^3{c}^3+c^3{a}^3}{3a^2{b}^2{c}^2}=\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}$$

 $$=\frac{{\left(x+y\right)}^3-3xy\left(x+y\right)+z^3}{3xyz}$$

 $$=\frac{{\left(-z\right)}^3-3xy\left(-z\right)+z^3}{3xyz}$$

 $$=\frac{-z^3+3xyz+z^3}{3xyz}=\frac{3xyz}{3xyz}=1.$$

Từ đó, $$T=\frac{a^3{b}^3+b^3{c}^3+c^3{a}^3}{3a^2{b}^2{c}^2}+\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)=1+\left(-1\right)=0.$$

Vậy $T=0.$