Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) – Đề 3 (có đáp án)

a) Thời gian xúc $$5000{\mathrm{m}}^3$$ đầu tiên là: $$\frac{5000}{x}$$ (ngày).

a) Phần việc còn lại là: $$11600-5000=6600\left({\mathrm{m}}^3\right)$$.

Năng suất làm việc ở phần việc còn lại: $$x+25$$ $$({\mathrm{m}}^3$$/ngày)

Thời gian làm nốt phần việc còn lại: $$\frac{6600}{x+25}$$ (ngày).

a) Điều kiện xác định của biểu thức $M$ là $\{\begin{array}{l}{x}^2-2x\ne 0\\ x\ne 0\end{array},$ hay $\{\begin{array}{l}x\left(x-2\right)\ne 0\\ x\ne 0\end{array}.$

Khi đó $\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x-2\ne 0\end{array}$ nên $\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 2\end{array}.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $M$ là $x\ne 0$ và $x\ne 2$.

b) Với $x\ne 0$ và $x\ne 2,$ ta có:

$$M=\frac{1}{x^2-2x}\cdot \left(\frac{x^2+4}{x}-4\right)+1=\frac{1}{x\left(x-2\right)}\cdot \left(\frac{x^2+4}{x}-\frac{4x}{x}\right)+1$$

$$=\frac{1}{x\left(x-2\right)}\cdot \frac{x^2+4-4x}{x}+1=\frac{1}{x\left(x-2\right)}\cdot \frac{{\left(x-2\right)}^2}{x}+1$$

$$=\frac{x-2}{x^2}+\frac{x^2}{x^2}=\frac{x^2+x-2}{x^2}.$$

Vậy với $x\ne 0$ và $x\ne 2,$ thì $M=\frac{x^2+x-2}{x^2}.$

Ta có $$\left|4-x\right|=2$$

Trường hợp 1. $$4-x=2$$  $x=2$ (không thoả mãn).

Trường hợp 1. $$4-x=-2$$  $x=6$ (thoả mãn).

Thay $$x=6$$ vào biểu thức $M=\frac{x^2+x-2}{x^2},$ ta được: $$M=\frac{6^2+6-2}{6^2}=\frac{36+6-2}{36}=\frac{10}{9}.$$

Vậy $M=\frac{10}{9}$ khi $$\left|4-x\right|=2.$$

c) Với $x\ne 0$ và $x\ne 2,$ ta có $$M=\frac{x^2+x-2}{x^2}=1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}.$$

Đặt $$\frac{1}{x}=t\left(t\ne 0;t\ne \frac{1}{2}\right),$$ khi đó:

$$M=1+t-2t^2=-2\left(t^2-\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}\right)=-2\left(t^2-2\cdot t\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{2}-\frac{1}{16}\right)$$

$$=-2\left[{\left(t-\frac{1}{4}\right)}^2-\frac{9}{16}\right]=\frac{9}{8}-2{\left(t-\frac{1}{4}\right)}^2.$$

Vì $${\left(t-\frac{1}{4}\right)}^2\ge 0$$ nên $$-2{\left(t-\frac{1}{4}\right)}^2\le 0,$$ do đó $$P\le \frac{9}{8}.$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi  tức là $$t=\frac{1}{4}$$ (thoả mãn).

Với $t=\frac{1}{4},$ ta có $$\frac{1}{x}=\frac{1}{4},$$ suy ra $$x=4.$$

Vậy giá trị lớn nhất củ$$t-\frac{1}{4}=0,$$a $$M$$ là $$\frac{9}{8}$$ khi $$x=4.$$

a) $-\frac{1}{2}x+2=\frac{5}{2}x-1$ $-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}x=-1-2$ $-3x=-3$ $x=1.$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=1.$c) $\frac{x}{20}-\frac{x-10}{25}=-2$ $\frac{5x}{100}-\frac{4\left(x-10\right)}{100}=-\frac{200}{100}$ $5x-4x+40=-200$ $x=-240$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=-240.$

b) $2x-1-\left(4x-1\right)=x+6$ $2x-1-4x+1=x+6$ $2x-4x-x=6$ $-3x=6$ $x=-2$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=-2.$ d) $${\left(x-5\right)}^2-13=x\left(x-12\right)$$ $$x^2-10x+25-13=x^2-12x$$ $$x^2-x^2+12x-10x=13-25$$ $$2x=-12$$ $x=-6.$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=-6.$

Gọi nồng độ muối trong dung dịch I là $$x\left(\%\right)$$ $\left(x>0\right).$

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch I là: $200\cdot \frac{x}{100}=2x$ (g).

Do nồng độ muối trong dung dịch I lớn hơn nồng độ muối trong dung dịch II là 20% nên nồng độ muối trong dung dịch II là $x-20\left(\%\right).$

Khi đó khối lượng muối có trong dung dịch II là: $300\cdot \frac{x-20}{100}=3\left(x-20\right)$ (g).

Khối lượng muối trong dung dịch sau khi trộn hai dung dịch là: $2x+3\left(x-20\right)$ (g).

Khối lượng dung dịch muối sau khi trộn hai dung dịch là: $200+300=500$ (g).

Do sau khi trộn hai dung dịch I và II thì được một dung dịch có nồng độ muối là 33% nên ta có phương trình: $\frac{2x+3\left(x-20\right)}{500}\cdot 100\%=33\%$

$2x+3x-60=33\cdot 5$

$5x=225$

$x=45$ (thỏa mãn).

Vậy nồng độ muối của dung dịch I và II lần lượt là $45\%$ và $25\%.$

a) Ta có $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ $\left(1\right)$ (tính chất hình bình hành)

Mà $\widehat{HBC}=180^{\circ }-\widehat{ABC}$ $\left(2\right)$ (hai góc kề bù)

      $\widehat{KDC}=180^{\circ }-\widehat{ADC}$ $\left(3\right)$ (hai góc kề bù)

Từ $\left(1\right)$, $\left(2\right)$, $\left(3\right)$ suy ra $\widehat{HBC}=\widehat{KDC}.$

Xét $\Delta CHB$ và $\Delta CKD$ có:

$\widehat{BHC}=\widehat{DKC}=90^{\circ }$ và $\widehat{HBC}=\widehat{KDC}$

Do đó  (g.g).

Suy ra $\frac{CH}{CK}=\frac{CB}{CD}$ (tỉ số cạnh tương ứng), hay $\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}$ (tính chất tỉ lệ thức).

b) Ta có $\widehat{ABC}$ là góc ngoài của $\Delta BHC$ nên $\widehat{ABC}=\widehat{BHC}+\widehat{BCH}=90^{\circ }+\widehat{BCH}$$\left(4\right)$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC//AD$ và $AB=CD$ (tính chất hình bình hành)

Mà $CK\perp AD$ nên $CK\perp BC$ nên $\widehat{BCK}=90^{\circ }.$

Do đó $\widehat{KCH}=\widehat{BCK}+\widehat{BCH}=90^{\circ }+\widehat{BCH}$ $\left(5\right)$

Từ $\left(4\right)$ và $\left(5\right)$ suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{KCH}.$

Theo câu a, $\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{CD}$ mà $AB=CD$ nên $\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{BA}.$

Xét $\Delta CHK$ và $\Delta BCA$ có: $\widehat{KCH}=\widehat{ABC}$ và $\frac{CH}{CB}=\frac{CK}{BA}$

Do đó  (c.g.c).

c) Kẻ $BE\perp AC$ tại $E$ $\left(E\in AC\right).$

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AHC$ có: $\widehat{AEB}=\widehat{AHC}=90^{\circ }$ và $\widehat{HAC}$ là góc chung.

Do đó  (g.g).

Suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AH}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $AB\cdot AH=AC\cdot AE$$\left(6\right)$

Xét $\Delta BCE$ và $\Delta CAK$ có:

$\widehat{BEC}=\widehat{CKA}=90^{\circ }$ và $\widehat{BCE}=\widehat{CAK}$ (hai góc so le trong, $BC//DA)$

Do đó  (g.g).

Suy ra $\frac{BC}{CA}=\frac{CE}{AK}$ (tỉ số cạnh tương ứng) nên $BC\cdot AK=AC\cdot CE$

Mà $BC=AD$ nên $AD\cdot AK=AC\cdot CE$ $\left(7\right)$

Từ $\left(6\right)$ và $\left(7\right)$ suy ra: $AB\cdot AH+AD\cdot AK=AC\cdot AE+AC\cdot CE$

Hay $AB\cdot AH+AD\cdot AK=AC\left(AE+CE\right)=A{C}^2.$

d) Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB//CD;AD//BC$ (tính chất hình bình hành)

Hay $AM//CD;AD//NC.$

Vì $AD//NC$ nên  do đó $\frac{IN}{ID}=\frac{IC}{IA}$ (tỉ số cạnh tương ứng) $\left(8\right)$

Vì $AM//DC$ nên  do đó $\frac{ID}{IM}=\frac{IC}{IA}$ (tỉ số cạnh tương ứng) $\left(9\right)$

Từ $\left(8\right)$ và $\left(9\right)$ suy ra $\frac{IN}{ID}=\frac{ID}{IM},$ nên $IM\cdot IN=I{D}^2.$

Gọi $F$ là giao điểm của $AB$ và $ED.$

Quan sát đường đi của bạn An theo hình vẽ thì đó là tứ giác $BCDF,$ tứ giác này có $\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90^{\circ }$ nên là hình chữ nhật.

Mà $CD=CB=300$ m nên hình chữ nhật $BCDF$ là hình vuông.

Do đó $BC=CD=DF=FB=300$ (m) và $\widehat{BFD}=90^{\circ }.$

Ta có $AF=AB+BF=900+300=1200$ (m); $EF=FD+DE=300+200=500$ (m).

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta AEF$ vuông tại $F$ ta có:

$A{E}^2=A{F}^2+E{F}^2$$=1200^2+500^2=1690000.$

Suy ra $AE=\sqrt{1690000}=1300$ (m) $=1,3$ (km).

Thời gian đi hết quãng đường $AE$ là: $\frac{1,3}{13}=0,1$ (giờ) $=6$ (phút).

Vậy bạn An đi từ nhà đến trường (bằng xe đạp điện) là lúc $7$ giờ $6$ phút.