Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) – Đề 2 (có đáp án)

a) Diện tích hình vuông $$EFGH$$ là: $x^2\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right).$

Diện tích hình chữ nhật $$ABCD$$ là: $2xy\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right).$

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích hình vuông và diện tích hình chữ nhật $$ABCD$$ là: $\frac{x^2}{2xy}=\frac{x}{2y}.$

Tử thức là $$x;$$ mẫu thức là $$2y.$$

b) Giá trị của phân thức đó tại $$x=2;y=8$$ là: $\frac{2}{2.8}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$.

a) Điều kiện xác định của biểu thức $$D$$ là: $$3x\ne 0;x+1\ne 0;$$$\frac{2-4x}{x+1}\ne 0$

• Xét $$3x\ne 0$$ ta có $$x\ne 0.$$

• Xét $$x+1\ne 0$$ ta có $$x\ne --1.$$

• Xét $\frac{2-4x}{x+1}\ne 0$ ta có $$2--4x\ne 0$$ và $$x+1\ne 0,$$ hay $x\ne \frac{1}{2}$ và $$x\ne --1.$$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $$D$$ là $x\ne 0;x\ne -1;x\ne \frac{1}{2}.$

b) Với $x\ne 0;x\ne -1;x\ne \frac{1}{2},$ ta có:

$D=\left(\frac{x+2}{3x}+\frac{2}{x+1}-3\right):\frac{2-4x}{x+1}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)+2\cdot 3x-3\cdot 3x\left(x+1\right)}{3x\cdot \left(x+1\right)}\cdot \frac{x+1}{2-4x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{x^2+2x+x+2+6x-9x^2-9x}{3x\left(x+1\right)}.\frac{x+1}{2-4x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{-8x^2+2}{3x\left(x+1\right)}.\frac{x+1}{2-4x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{2\left(1-4x^2\right)\cdot \left(x+1\right)}{3x\left(x+1\right)\cdot \left(2-4x\right)}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{2\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}{3x\cdot 2\left(1-2x\right)}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{1+2x}{3x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}=\frac{1+2x-3x+x^2-1}{3x}$

$=\frac{x^2-x}{3x}=\frac{x\left(x-1\right)}{3x}=\frac{x-1}{3}$.

Vậy với $x\ne 0;x\ne -1;x\ne \frac{1}{2}$ thì $D=\frac{x-1}{3}.$

c) Ta có $\left(2x-1\right)\left(x^2+1\right)=0$

$2x-1=0$ hoặc $x^2+1=0$ (vô nghiệm do $x^2+1>0$ với mọi $x)$

$x=\frac{1}{2}$

Ta thấy $$x=\frac{1}{2}$$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức $$D$$ tại $$x=\frac{1}{2}$$ là: $D=\frac{\frac{1}{2}-1}{3}=\frac{-\frac{1}{2}}{3}=-\frac{1}{6}.$

Vậy $D=-\frac{1}{6}$ khi $\left(2x-1\right)\left(x^2+1\right)=0.$

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $x$ (km/h) $\left(x>0\right).$

Vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $x-5$ (km/h).

Sau 4 giờ 48 phút $=4,8$ giờ thì tàu thứ nhất đi được quãng đường là: $4,8x$ (km).

Vì tàu hỏa thứ hai khởi hành sau tàu hỏa thứ nhất 1 giờ 48 phút $=1,8$ giờ nên thời gian tàu hỏa thứ hai đã đi là $4,8-1,8=3$ (giờ). Khi đó quãng đường tàu hỏa thứ hai đã đi là: $3\left(x-5\right)$ (km).

Vì ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội 87 km nên ta có phương trình:

$4,8x=3\left(x-5\right)+87$

$4,8x=3x-15+87$

$4,8x-3x=87-15$

$1,8x=72$

$x=40$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $40$ km/h, vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $40-5=35\left(km/\mathrm{h}\right).$

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pytagore ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=8^2+6^2=64+36=100$ Suy ra $BC=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}.$ Vì $BD$ là tia phân giác của góc $ABC$ nên suy ra: $$\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$$ b) Theo đề bài, $CE\perp BD$ tại $E$ nên $\widehat{BEC}=90^{\circ }.$ Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBC$ có:

$\widehat{BAD}=\widehat{BEC}=90^{\circ }$ và $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ (vì $BD$ là tia phân giác của góc $ABC)$

Do đó  (g.g).

Suy ra: $\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{EC}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Do đó $BD\cdot EC=AD\cdot BC.$

c) Từ $\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{BC}$ suy ra $\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AB}$$\left(1\right)$

Vì  (câu b) nên $\frac{AD}{EC}=\frac{AB}{EB},$ suy ra $\frac{AD}{AB}=\frac{EC}{EB}$$\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra: $\frac{CD}{BC}=\frac{CE}{BE}.$

d) Tương tự câu b ta chứng minh được: ⦁  (g.g) nên $\frac{CH}{CE}=\frac{CE}{CB}.$ Suy ra $CH\cdot CB=C{E}^2\left(3\right)$ ⦁  (g.g) nên $\frac{ED}{EC}=\frac{CE}{BE}.$ Suy ra $ED\cdot EB=C{E}^2\left(4\right)$ Từ $\left(3\right)$ và $\left(4\right)$ suy ra: $CH\cdot HB=ED\cdot EB.$

Giả sử mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước cả tàu thủy được mô tả như hình vẽ dưới đây:

• Do tam giác $$ABM$$ vuông tại $B,$ nên theo định lí Pythagore ta có:

$$A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2=5,6^2+8,4^2=31,36+70,56=101,92$$.

Suy ra $AB=\sqrt{101,92}\left(\mathrm{m}\right).$

• Do tam giác $CDH$ vuông tại $H,$ nên theo định lí Pythagore ta có:

$$C{D}^2=C{H}^2+D{H}^2=16,2^2+10,8^2=262,44+116,64=379,08$$

Suy ra $CD=\sqrt{379,08}\left(\mathrm{m}\right)$.

• Ta có $$AI=BH=BM+MC+CH=8,4+24+16,2=48,6$$ (m).

            $$DI=DH--HI=DH--AB=10,8--5,6=5,2$$ (m).

Do tam giác $$ADI$$ vuông tại $$I,$$ nên theo định lí Pythagore ta có:

$$A{D}^2=A{I}^2+D{I}^2=48,6^2+5,2^2=2361,96+27,04=2389$$

Suy ra $AD=\sqrt{2389}\left(\mathrm{m}\right)$.

• Chu vi tứ giác $AMCD$ là:

$$AM+MC+CD+DA=$$$\sqrt{101,92}+24+\sqrt{379,08}+\sqrt{2389}\approx 102,4$ (m).

Vậy chu vi mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước của chiếc tàu thuỷ đó khoảng $$102,4\mathrm{m}.$$