Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) – Đề 1 (có đáp án)

a) Biểu thức biểu thị số sản phẩm phải sản xuất trong một ngày theo kế hoạch là: $\frac{10000}{x}.$

b) Số ngày thực tế công ty may đó thực hiện là: $x-1$ (ngày)

Số sản phẩm thực tế công ty may đó thực hiện là: $10000+80=10080$ (sản phẩm)

Biểu thức biểu thị số lượng sản phẩm thực tế đã làm được trong một ngày là: $\frac{10080}{x-1}.$

a) Ta có $x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right).$

Điều kiện xác định của biểu thức $P$ là $x-1\ne 0,$ $x+1\ne 0,$ $x\ne 0$ hay $x\ne 1,$ $x\ne -1$ và $x\ne 0.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $P$ là $x\ne 1,$ $x\ne -1$ và $x\ne 0.$

b) Với điều kiện $x\ne 1,$ $x\ne -1$ và $x\ne 0,$ ta có:

$P=\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{x^2-3x}{x^2-1}\right)\cdot \frac{x+4}{x}$

$=\frac{{\left(x+1\right)}^2-{\left(x-1\right)}^2+x^2-3x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot \frac{x+4}{x}$

$=\frac{x^2+2x+1-\left(x^2-2x+1\right)+x^2-3x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot \frac{x+4}{x}$

$=\frac{4x+x^2-3x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot \frac{x+4}{x}$

$=\frac{x^2+x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot \frac{x+4}{x}$

$$=\frac{x\left(x+1\right)\cdot \left(x+4\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\cdot x}$$$$=\frac{x+4}{x-1}.$$

Vậy với $x\ne 1,$ $x\ne -1$ và $x\ne 0,$ thì $$P=\frac{x+4}{x-1}.$$

c) Với $x\ne 1,$ $x\ne -1$ và $x\ne 0,$ ta có $$P=\frac{x+4}{x-1}=\frac{x-1+5}{x-1}=1+\frac{5}{x-1}.$$

Với $x$ nguyên, để $P$ đạt giá trị nguyên thì $\frac{2025}{x-1}$ là số nguyên

Do đó $5⋮\left(x-1\right)$ hay $x-1\in$Ư$\left(5\right)=\left\{1;-1;5;-5\right\}.$

Ta có bảng sau:

Vậy $x\in \left\{1;0;6;-4\right\}.$

a) $15-4x=x-5$ $x-4x=-5-15$ $-5x=-20$ $x=4.$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=4.$ c) $\frac{7x-1}{6}=\frac{16-x}{5}-2x$ $\frac{5\left(7x-1\right)}{30}=\frac{6\left(16-x\right)}{30}-\frac{2x\cdot 30}{30}$ $35x-5=96-6x-60x$ $35x+6x+60x=96+5$ $101x=101$  $x=1.$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=1.$

b) $$x-3\left(2-x\right)=2x-4$$ $$x-6+3x=2x-4$$ $$x+3x-2x=-4+6$$ $$2x=2$$ $$x=1.$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $$x=1.$$ d) $${\left(x+3\right)}^2-13=x\left(x+4\right).$$ $$x^2+6x+9-13=x^2+4x$$  $2x=4$ x = 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =2

Gọi $x$ (học sinh) là số lượng học sinh đi tham quan $(x\in {\mathbb{N}}^{\ast },x>27)$.

Số lượng giáo viên đi tham quan là: $x-27$ (giáo viên).

Giá vé của mỗi học sinh là:
$$375000\cdot (100\%-30\%)=262500\text{(đoˆˋng)}.$$

Giá vé của mỗi giáo viên là:
$$375000\cdot (100\%-10\%)=337500\text{(đoˆˋng)}.$$

Giá vé của $x$ học sinh là: $262500x$ (đồng).

Giá vé của $x-27$ giáo viên là: $337500(x-27)$ (đồng).

Vì tổng chi phí tham quan (sau khi giảm giá) là $12487500$ đồng nên ta có phương trình:
$$262500x+337500(x-27)=12487500.$$

$$600000x-9112500=12487500.$$

$$600000x=21600000\Rightarrow x=36(\text{thỏa ma˜n}).$$

Số lượng giáo viên tham gia chuyến đi là:
$$36-27=9.$$

Vậy có $36$ học sinh và $9$ giáo viên tham gia chuyến đi.

b) Theo câu a ta có $\frac{DB}{DE}=\frac{DC}{DB}=\sqrt{2}.$

Xét $$\Delta BDE$$ và $$\Delta CDB$$ có:

$\widehat{CDB}$ là góc chung và $\frac{DB}{DE}=\frac{DC}{DB}$

Do đó  (c.g.c).

c) Từ câu c,  suy ra $\widehat{DEB}=\widehat{DBC}$ (hai góc tương ứng).

Do đó $$\widehat{AEB}+\widehat{ACB}=\widehat{DBC}+\widehat{DCB}.$$

Xét $\Delta BCD$ có $\widehat{ADB}$ là góc ngoài tại đỉnh $D$ nên $\widehat{ADB}=\widehat{DBC}+\widehat{DCB}.$

Mà $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có $AB=AD=a$ nên là tam giác vuông cân tại $A,$ do đó $\widehat{ADB}=45^{\circ }.$

Suy ra $$\widehat{AEB}+\widehat{ACB}=\widehat{DBC}+\widehat{DCB}=\widehat{ADB}=45^{\circ }.$$

Vậy $$\widehat{AEB}+\widehat{ACB}=45^{\circ }.$$

d) Ta có: $BD\cdot BI+CD\cdot CA=BD\cdot \left(BD+DI\right)+CD\cdot \left(CD+AD\right)$

$=B{D}^2+BD\cdot DI+C{D}^2+CD\cdot AD$

$=B{D}^2+BD\cdot DI+C{D}^2+CD\cdot AD$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ICD$ có $$\widehat{BAD}=\widehat{CID}=90^{\circ }$$ và $\widehat{ADB}=\widehat{IDC}$ (đối đỉnh).

Do đó  (g.g)

Suy ra $\frac{BD}{CD}=\frac{AD}{IC}$ (tỉ số cạnh tương ứng), nên $BD\cdot DI=CD\cdot AD.$

Khi đó $BD\cdot BI+CD\cdot CA=B{D}^2+2BD\cdot DI+C{D}^2$

$=B{D}^2+2BD\cdot DI+D{I}^2+C{D}^2-D{I}^2$

$={\left(BD+DI\right)}^2+C{D}^2-D{I}^2$

$=B{I}^2+C{D}^2-D{I}^2$

Xét $\Delta ICD$ vuông tại $I,$ theo định lí Pythagore ta có $D{I}^2+I{C}^2=C{D}^2$

Suy ra $I{C}^2=C{D}^2-D{I}^2,$ nên $BD\cdot BI+CD\cdot CA=B{I}^2+I{C}^2.$

Lại có, $B{I}^2+I{C}^2=B{C}^2$ (áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $BIC$ vuông tại $I).$

Vậy $BD\cdot BI+CD\cdot CA=B{C}^2.$

Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông $AMO,ONC,OMD,OBE,$ ta tính được:

⦁ $O{A}^2=3^2+4^2=25$ hay $OA=5\mathrm{m};$

⦁ $O{C}^2=6^2+8^2=100$ hay $OC=10\mathrm{m};$

⦁ $O{D}^2=3^2+8^2=73$ hay $OD=\sqrt{73}\mathrm{m};$

⦁ $O{B}^2=4^2+6^2=52$ hay $OB=\sqrt{52}\mathrm{m}.$

Vì $$OA=5\mathrm{m}<9\mathrm{m},OD=\sqrt{73}\mathrm{m}<9\mathrm{m},OB=\sqrt{52}\mathrm{m}<9\mathrm{m},OC=10\mathrm{m}>9\mathrm{m},$$ nên chú cún có thể đến các vị trí $A,D,B$ nhưng không thể đến được vị trí $C.$