Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới – Đề 2 (có đáp án)

Đáp án đúng là:                a) S          b) S         c) Đ        d) Đ

Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ ($x>3$, km/h).

Lúc này, vận tốc ca nô xuôi dòng là $x+3$ (km/h), vận tốc ca nô ngược dòng là $x-3$ (km/h).

Quãng đường ca nô xuôi dòng là $\frac{4}{3}\left(x+3\right)$ (km) và quãng đường ca nô ngược dòng là $2\left(x-3\right)$ km.

Theo đề, ta có phương trình: $\frac{4}{3}\left(x+3\right)=2\left(x-3\right)$.

Giải phương trình, ta được:

$\frac{4}{3}\left(x+3\right)=2\left(x-3\right)$

$\frac{4}{3}x+4=2x-6$

$2x-\frac{4}{3}x=4+6$

$\frac{2}{3}x=10$

$x=10:\frac{2}{3}$

$x=15$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc riêng của ca nô là $15km/h$.

Đáp án: a) Đ  b) S         c) Đ         d) S

a) Vì $AB\parallel CD$ nên theo định lí Thalès, ta có: $\frac{AE}{AD}=\frac{EB}{BC}$.

b) Vì $AB\parallel MN$ nên theo định lí Thalès, ta có: $\frac{AE}{AM}=\frac{BE}{BN}$.

c) Từ a) và b) ta có: $\frac{AM}{AD}=\frac{BN}{BC}$ hay $\frac{AM}{BN}=\frac{AD}{BC}$.

Lại có $\frac{AM}{BN}=\frac{AD}{BC}=\frac{AE}{BE}$ nên theo tính chất của tỉ lệ thức suy ra $\frac{AM}{BN}=\frac{AD-AM}{BC-BN}=\frac{MD}{NC}$.

Do đó, $\frac{AM}{BN}=\frac{MD}{NC}$ hay $\frac{AM}{DM}=\frac{BN}{BC}$.

d) Từ c) ta có: $\frac{AM}{BN}=\frac{MD}{NC}=\frac{AD}{BC}$ nên theo tính chất của tỉ lệ thức, ta có:

$\frac{MD}{NC}=\frac{AM+MD}{BN+NC}=\frac{AD}{BC}$ hay $\frac{DM}{NC}=\frac{AD}{BC}$ hay $\frac{DM}{AD}=\frac{NC}{BC}$.

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$, ta có:

$-x+1=x+3$ hay $2x=-2$ suy ra $x=-1$.

Thay $x=-1$ vào hàm số $\left(d_1\right)y=-x+1$, ta được: $y=2$.

Suy ra $C\left(-1;2\right)$.

Xét $\left(d_1\right)y=-x+1$, với $y=0$ suy ra $x=1$. Do đó, $A\left(1;0\right)$.

Xét $\left(d_2\right):y=x+3$, với $y=0$ suy ra $x=3$. Do đó, $B\left(3;0\right)$.

b) Gọi đường thẳng $\left(d_3\right):y=ax+b$.

Do $\left(d_3\right)$ song song với $\left(d_1\right)y=-x+1$ nên $a=-1$.

Lại có $\left(d_3\right)$ đi qua điểm $B\left(3;0\right)$ nên có $\left(-1\right).3+b=0$ suy ra $b=3$.

Vậy đường thẳng $\left(d_3\right)$ là $\left(d_3\right):y=-x+3$.

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABC$ có $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\frac{AB}{BC}=\frac{DA}{DC}$ (tính chất đường phân giác) .

Do đó, $\frac{DC}{BC}=\frac{DA}{BA}$.

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{DC}{BC}=\frac{DA}{BA}=\frac{DC+DA}{BC+BA}=\frac{AC}{BC+AB}=\frac{5}{6+4}=\frac{1}{2}$.

Do đó, $AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.4=2\mathrm{cm}$, $CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.6=3\mathrm{cm}$.

b) Xét $\Delta BCD$ có $CI$ là phân giác của $\widehat{DCB}$ nên $\frac{DI}{BI}=\frac{DC}{BC}=\frac{1}{2}$ (tính chất đường phân giác).

Suy ra $\frac{DI}{BI+DI}=\frac{1}{2+1}$ hay $\frac{DI}{DB}=\frac{1}{3}$.

Lại có $CE$ là phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\frac{BE}{EA}=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{5}$, suy ra $\frac{BE}{BA}=\frac{6}{11}$.

Có $BD$ là tia phân giác của $\widehat{CBA}$ nên $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{5}$, suy ra $\frac{AD}{AC}=\frac{2}{5}$.

c) Gọi $h_1,h_2,h_3$ lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ $E$ đến $BD$, độ dài đường cao kẻ từ $D$ đến $AB$, độ dài đường cao kẻ từ $B$ đến $AC$.

Ta có: $S_{DIE}=\frac{1}{2}{h}_1.DI;$$S_{DEB}=\frac{1}{2}{h}_1.DB=\frac{1}{2}{h}_2.BE$ ;

          $S_{ABD}=\frac{1}{2}{h}_2.AB=\frac{1}{2}{h}_3.AD$; $S_{ABC}=\frac{1}{2}{h}_3.AC$.

Do đó, $\frac{S_{DIE}}{S_{BDE}}=\frac{h_1.DI}{h_1.BD}=\frac{DI}{DB}=\frac{1}{3}$; $\frac{S_{DEB}}{S_{BDA}}=\frac{h_2.BE}{h_2.AB}=\frac{BE}{AB}=\frac{6}{11}$; $\frac{S_{DBA}}{S_{ABC}}=\frac{h_3.AD}{h_3.AC}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{5}$.

Khi đó, $S_{DIE}=\frac{1}{3}{S}_{BDE}=\frac{1}{3}.\frac{6}{11}{S}_{ABD}=\frac{1}{3}.\frac{6}{11}.\frac{2}{5}{S}_{ABC}=\frac{4}{55}{S}_{ABC}$.

Suy ra $\frac{S_{DEI}}{S_{ABC}}=\frac{4}{55}$.

Ta có: $\frac{x-2}{7}+\frac{x-1}{8}=\frac{x-4}{5}+\frac{x-3}{6}$

$\frac{x-2}{7}-1+\frac{x-1}{8}-1=\frac{x-4}{5}-1+\frac{x-3}{6}-1$

$\frac{x-9}{7}+\frac{x-9}{8}=\frac{x-9}{5}+\frac{x-9}{6}$

$\frac{x-9}{7}+\frac{x-9}{8}-\frac{x-9}{5}-\frac{x-9}{6}=0$

$\left(x-9\right)\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)=0$

Nhận thấy $\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)\ne 0$ nên $x-9=0$ hay $x=9$.

Vậy $x=9.$