Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới – Đề 1 (có đáp án)

Đáp án đúng là:                 a) Đ         b) Đ         c) S         d) Đ

Gọi tuổi của Minh hiện nay là $x$ $\left(x\in \mathbb{N}\right)$.

Theo đề, sau 24 năm nữa tuổi của Minh là $x+24$ (tuổi).

Sau 24 năm nữa tuổi của bố Minh là $10x+24$ (tuổi).

Sau 24 năm nữa thì tuổi bố chỉ gấp $2$ lần tuổi Minh nên ta có phương trình:

$10x+24=2\left(x+24\right)$

Giải phương trình, ta được:

$10x+24=2\left(x+24\right)$

$10x+24=2x+2.24$

$10x+24=2x+48$

$10x-2x=48-24$

$8x=24$

$x=3$ (thỏa mãn).

Do đó, tuổi của Minh hiện tại là 3 tuổi.

Suy ra tuổi của bố Minh hiện tại là $3.10=30$ (tuổi).

Vậy hiện tại bố Minh $30$ tuổi.

Đáp án đúng là: a) Đ     b) S         c) Đ         d) Đ

a) Xét $\Delta ABC$ có $EG\parallel BM$, theo định lí Thalès ta có: $\frac{BE}{AE}=\frac{MG}{AG}$.

b) Xét $\Delta DCN$ có $BM\parallel CN$, theo định lí Thalès ta có: $\frac{DN}{MD}=\frac{DC}{DB}$.

c) Có $D$ là trung điểm của $BC$ (do $AD$ là trung tuyến của tam giác) nên $DB=DC$.

Do đó, $\frac{DN}{MD}=\frac{DC}{DB}=1$ nên $DM=DN$.

Suy ra $GM+GN=GM+GM+MN=2GM+2MD=2GD$.

Lại có $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $AG=2GD$.

Xét $\Delta ACN$ có $FG\parallel CN$, theo định lí Thalès ta có: $\frac{CF}{AF}=\frac{GN}{AG}$.

Suy ra $\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{MG}{AG}+\frac{GN}{AG}=\frac{GM+GN}{AG}=\frac{2GD}{2GD}=1$.

Do đó, $\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=1$.

d) Xét $\Delta ABC$ có $EG\parallel BM$, theo định lí Thalès ta có: $\frac{AB}{AE}=\frac{AM}{AG}$.

Xét $\Delta ACN$ có $FG\parallel CN$, theo định lí Thalès ta có: $\frac{AC}{AF}=\frac{AN}{AG}$.

Suy ra $\frac{AB}{AE}+\frac{AC}{AF}=\frac{AM}{AG}+\frac{AN}{AG}=\frac{AM+AN}{AG}=\frac{AG+GM+AG+GM+MN}{AG}$

$=\frac{2AG+2GM+2MD}{AG}=\frac{2AG+2\left(GM+MD\right)}{AG}=\frac{2AG+2GD}{AG}=\frac{2AG+2.\frac{1}{2}AG}{AG}=\frac{3AG}{AG}=3$.

Vậy $\frac{AB}{AE}+\frac{CA}{AF}=3$.

a) Nhận thấy hai đường thẳng $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ có hệ số $2\ne -1$ nên chúng cắt nhau.

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:

$2x-1=-x+2$ suy ra $3x=3$ nên $x=1$.

Thay $x=1$ vào đường thẳng $\left(d_1\right)$, ta có $y=1.$

Vậy ta có giao điểm $I\left(1;1\right)$.

b) Gọi phương trình đường thẳng $\left(d_3\right)$ là: $y=ax+b$

Theo đề, đường thẳng $\left(d_3\right)$ song song với $y=\frac{1}{2}x+9$ nên có hệ số $a=\frac{1}{2}$.

Vì $\left(d_3\right)$ đi qua $I$ nên ta có $1=\frac{1}{2}.1+b$ suy ra $b=\frac{1}{2}$.

Vậy $\left(d_3\right):y=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $ABC$, ta có:

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$21^2+28^2=B{C}^2$

$B{C}^2=1225$ nên $BC=35\mathrm{cm}$.

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là tia phân giác của góc $BAC$ nên $\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DA+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}=\frac{35}{21+28}=\frac{5}{7}$.

Suy ra $DB=\frac{5}{7}.AB=\frac{5}{7}.21=15\mathrm{cm}$ và $DC=\frac{5}{7}.AC=\frac{5}{7}.28=20\mathrm{cm}$.

b) Vì $E$ là hình chiếu của $D$ trên $AC$ nên $DE\perp AC$.

Mà $BA\perp AC$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A$).

Do đó $DE\parallel AB$.

Xét $\Delta ABC$ có $DE\parallel AB$ nên $\frac{EC}{AC}=\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{BC}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$ (Hệ quả định lí Thalès)

Do đó, $DE=\frac{4}{7}AB=\frac{4}{7}.21=12\mathrm{cm}$ và $EC=\frac{4}{7}AC=\frac{4}{7}.28=16\mathrm{cm}$.

c) Gọi $F$ là giao điểm của $BI$ với $AC$.

Vì $I$ là giao điểm của ba đường phân giác nên $BF$ là đường phân giác góc $\widehat{ABC}$.

Do đó, $\frac{FA}{FC}=\frac{BA}{BC}=\frac{21}{35}=\frac{3}{5}$.

Suy ra $FA=\frac{3}{5}FC=\frac{3}{8}AC=\frac{21}{2}\left(\mathrm{cm}\right)$.

Có $AI$ là đường phân giác của tam giác $ABF$ nên có $\frac{BI}{FI}=\frac{AB}{AF}=\frac{21}{\frac{21}{2}}=2$ (1)

Gọi $GB$ cắt $AC$ tại $M$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $BM$ là đường trung tuyến, do đó $\frac{GB}{GM}=2$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{GB}{GM}=\frac{IB}{IF}$ suy ra $IG\parallel FM$ hay $IG\parallel AC$ (Theo định lí Thalès đảo).

Ta có: $\frac{x+1}{15}+\frac{x+2}{14}=\frac{x+3}{13}+\frac{x+4}{12}$

$\frac{x+1}{15}+1+\frac{x+2}{14}+1=\frac{x+3}{13}+1+\frac{x+4}{12}+1$

$\frac{x+16}{15}+\frac{x+16}{14}=\frac{x+16}{13}+\frac{x+16}{12}$

$\frac{x+16}{15}+\frac{x+16}{14}-\frac{x+16}{13}-\frac{x+16}{12}=0$

$\left(x+16\right)\left(\frac{1}{15}+\frac{1}{14}-\frac{1}{13}-\frac{1}{12}\right)=0$

Nhận thấy $\left(\frac{1}{15}+\frac{1}{14}-\frac{1}{13}-\frac{1}{12}\right)\ne 0$ nên $x+16=0$ suy ra $x=-16.$

Vậy $x=-16.$