Đề thi Cuối kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới – Đề 3 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Đúng.

b) Sai.

c) Sai.

d) Đúng.

⦁ Ta có $$G=\left(7x^5{y}^4{z}^3-3x^{4}y{z}^2+2x^2{y}^{2}z\right):x^{2}yz$$

$$=7x^5{y}^4{z}^3:x^{2}yz-3x^{4}y{z}^2:x^{2}yz+2x^2{y}^{2}z:x^{2}yz$$

$$=7x^3{y}^3{z}^2-3x^{2}z+2y$$.

Đa thức $G$ có bậc là 8. Do đó ý a) đúng.

⦁ Thay $x=1;y=-1;z=1$ vào biểu thức $G$, ta có:

$G=7\cdot 1^3\cdot {\left(-1\right)}^3\cdot 1^2-3\cdot 1^2\cdot 1+2\cdot \left(-1\right)=-7-3-2=-12.$

Vậy với $x=1;y=-1;z=1$ thì $G=-12$. Do đó ý b) sai.

⦁ Ta có $A+14x^3{y}^3{z}^2-6x^{2}z+2y=G$ hay $A+14x^3{y}^3{z}^2-6x^{2}z+2y=7x^3{y}^3{z}^2-3x^{2}z+2y$

Khi đó, đa thức $$A$$ hạng tử tự do là 0. Do đó ý c) sai.

⦁ Ta có $$A+G=\left(-7x^3{y}^3{z}^2+3x^{2}z\right)+\left(7x^3{y}^3{z}^2-3x^{2}z+2y\right)$$

$$=-7x^3{y}^3{z}^2+3x^{2}z+7x^3{y}^3{z}^2-3x^{2}z+2y$$

$$=\left(-7x^3{y}^3{z}^2+7x^3{y}^3{z}^2\right)+\left(3x^{2}z-3x^{2}z\right)+2y$$$=2y$.

Như vậy, tổng của hai đa thức $$A$$ và $G$ là một đơn thức. Do đó ý d) đúng.

Hướng d�

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Sai.

b) Sai.

c) Đúng.

d) Đúng.

⦁ Do $E$ là trung điểm của $BC$ nên $BE=\frac{1}{2}BC$ hay $BC=2BE.$

Vì $BC=2AB$ và $BC=2BE$ nên $AB=BE$. Do đó ý a) là sai.

⦁ Theo đề bài, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $AD=BC,AD//BC$.

Vì $AD=BC$; $BE=\frac{1}{2}BC;AF=\frac{1}{2}AD$ (do $F$ là trung điểm của $AD)$ nên $BE=AF$.

Tứ giác $ABEF$ có $BE=AF$ (cmt) và $BE//AF$ (vì $AD//BC).$

Suy ra, tứ giác $ABEF$ là hình bình hành.

Hình bình hành $ABEF$ có $AB=BE$ nên $ABEF$ là hình thoi. Do đó ý b) sai.

⦁ Ta thấy $BD$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác của tam giác $ADI$ nên tam giác $ADI$ cân tại $D$.

Tam giác $ADI$ cân tại $D$ có $\widehat{DAI}=60^{\circ }$ nên tam giác $ADI$ là tam giác đều.

Suy ra $BD$ cũng là đường cao của tam giác $ADI$ nên $BD\perp BI$ hay $\widehat{DBI}=90^{\circ }.$

Do đó ý c) đúng.

⦁ Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $AB=CD,AB//CD$.

Vì $AB=CD$; $AB=BI$ (do $B$ là trung điểm của $AI)$ nên $BI=CD$.

Tứ giác $BICD$ có $BI//CD$ (vì $AB//CD$) và $BI=CD$ nên tứ giác $BICD$ là hình bình hành.

Hình bình hành $BICD$ có $\widehat{DBI}=90^{\circ }$ nên tứ giác $BICD$ là hình chữ nhật.

Khi đó, $E$ là trung điểm của $DI$.

Ta có tam giác $ADI$ là tam giác đều có $AE$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Do đó, $AE\perp DI$ hay $\widehat{AED}=90^{\circ }$. Do đó ý d) đúng.

Hướng dẫn giải

a) Do $$ME\perp AB$$ tại $E$ nên $\widehat{MEA}=90^{\circ }.$

Do $$MF\perp AD$$ tại $F$ nên $\widehat{MFA}=90^{\circ }.$

Do $ABCD$ là hình vuông nên $\widehat{EAF}=90^{\circ }.$

Tứ giác $$AEMF$$ có $\widehat{MFA}=\widehat{EAF}=\widehat{AEM}=90^{\circ }$ nên $$AEMF$$ là hình chữ nhật.

b) Do $ABCD$ là hình vuông nên $BD$ là đường phân giác của $\widehat{ABC}.$

Do đó $\widehat{ABD}=45^{\circ }$ suy ra $\Delta BEM$ vuông cân tại $E$ nên $BE=ME.$

Do $$AEMF$$ là hình chữ nhật nên $ME=AF$ nên $BE=AF.$

Chu vi của hình chữ nhật $$AEMF$$ là:

$$2\left(AE+AF\right)=2\left(AE+BE\right)=2AB.$$

Mà $AB$ không đổi nên chu vi của hình chữ nhật $$AEMF$$ không đổi.

Do đó, diện tích của tứ giác $$AEMF$$ lớn nhất khi $$AEMF$$ là hình vuông.

Suy ra $$ME=MF.$$

Khi đó $$\Delta BEM=\Delta DFM$$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra $$BM=DM$$ hay $$M$$ là trung điểm của $$BC.$$

Vậy với $$M$$ là trung điểm của $$BC$$ thì diện tích của tứ giác $$AEMF$$ lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Do $x+y+z=0$ nên $\{\begin{array}{l}x=-\left(y+z\right)\\ y=-\left(x+z\right)\\ z=-\left(x+y\right)\end{array}$, suy ra $\{\begin{array}{l}{x}^2={\left(y+z\right)}^2\\ y^2={\left(x+z\right)}^2\\ z^2={\left(x+y\right)}^2\end{array}.$ 

Do $a+b+c=0$ nên $\{\begin{array}{l}b+c=-a\\ c+a=-b\\ a+b=-c\end{array}.$

Do $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$ nên $\frac{ayz+bxz+cxy}{xyz}=0$ suy ra $bxz+cxy+ayz=0$.

Ta có: $a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2=a{\left(y+z\right)}^2+b{\left(x+z\right)}^2+c{\left(x+y\right)}^2$

$=a{y}^2+2ayz+a{z}^2+b{x}^2+2bxz+b{z}^2+c{x}^2+2cxy+c{y}^2$

$=\left(b+c\right)x^2+\left(a+c\right)y^2+\left(a+b\right)z^2+2\left(bxz+cxy+ayz\right)$

$=\left(b+c\right)x^2+\left(a+c\right)y^2+\left(a+b\right)z^2$

$=\left(-a\right)x^2+\left(-b\right)y^2+\left(-c\right)z^2$

Do đó $2\left(a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2\right)=0$ nên $a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2=0.$

Vậy $a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2=0.$