Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức – Đề 05 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Ta có $x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right).$

Điều kiện xác định của biểu thức $P$ là $x-1\ne 0,$ $x+1\ne 0,$ $x\ne 0$ hay $x\ne 1,$ $x\ne -1$ và $x\ne 0.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $P$ là $x\ne 1,$ $x\ne -1$ và $x\ne 0.$

b) Với điều kiện $x\ne 1,$ $x\ne -1$ và $x\ne 0,$ ta có:

$P=\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{x^2-3x}{x^2-1}\right)\cdot \frac{x+4}{x}$

$=\frac{{\left(x+1\right)}^2-{\left(x-1\right)}^2+x^2-3x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot \frac{x+4}{x}$

$=\frac{x^2+2x+1-\left(x^2-2x+1\right)+x^2-3x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot \frac{x+4}{x}$

$=\frac{4x+x^2-3x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot \frac{x+4}{x}$

$=\frac{x^2+x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot \frac{x+4}{x}$

$$=\frac{x\left(x+1\right)\cdot \left(x+4\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\cdot x}$$$$=\frac{x+4}{x-1}.$$

Vậy với $x\ne 1,$ $x\ne -1$ và $x\ne 0,$ thì $$P=\frac{x+4}{x-1}.$$

c) Với $x\ne 1,$ $x\ne -1$ và $x\ne 0,$ ta có $$P=\frac{x+4}{x-1}=\frac{x-1+5}{x-1}=1+\frac{5}{x-1}.$$

Với $x$ nguyên, để $P$ đạt giá trị nguyên thì $\frac{2025}{x-1}$ là số nguyên

Do đó $5⋮\left(x-1\right)$ hay $x-1\in$Ư$\left(5\right)=\left\{1;-1;5;-5\right\}.$

Ta có bảng sau:

Vậy $x\in \left\{1;0;6;-4\right\}.$        

Hướng dẫn giải

a) $$x-3\left(2-x\right)=2x-4$$ $$x-6+3x=2x-4$$ $$x+3x-2x=-4+6$$ $$2x=2$$ $$x=1.$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $$x=1.$$

b) $\frac{7x-1}{6}=\frac{16-x}{5}-2x$ $\frac{5\left(7x-1\right)}{30}=\frac{6\left(16-x\right)}{30}-\frac{2x\cdot 30}{30}$ $35x-5=96-6x-60x$ $35x+6x+60x=96+5$ $101x=101$  $x=1.$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=1.$

Hướng dẫn giải

Hình chữ nhật có chu vi bằng 100 m nên có nửa chu vi là $\frac{100}{2}=50$ (m).

Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là $x$ (m) $\left(0<x<50\right).$

Khi đó chiều dài của hình chữ nhật là: $50-x$ (m).

Diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: $x\left(50-x\right)$ (m²).

Nếu tăng chiều rộng thêm 10 m thì chiều rộng mới là $x+10$ (m).

Nếu giảm chiều dài đi 10 m thì chiều dài mới là $50-x-10=40-x$ (m).

Khi đó, diện tích của hình chữ nhật là: $\left(x+10\right)\left(40-x\right)$ (m²).

Sau khi thay đổi kích thước thì diện tích hình chữ nhật không thay đổi nên ta có phương trình:

$x\left(50-x\right)=\left(x+10\right)\left(40-x\right)$

$50x-x^2=40x-x^2+400-10x$

$50x-40x+10x=400$

$20x=400$

    $x=20$ (thỏa mãn).

Vậy diện tích lúc đầu của hình chữ nhật là: $20\cdot \left(50-20\right)=600$ (m²).

a) Xét $\Delta ABC$ cân tại $A$  có đường cao $AD$ nên đồng thời là đường trung tuyến, đo dó

$BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 120=60\mathrm{cm}.$

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta ABD$ vuông tại $D,$ ta có:

Hướng dẫn giải

Với $a\ne -b;b\ne -c;c\ne -a$ ta xét $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1.$ $\left(1\right)$

Do $a\ne -b;b\ne -c;c\ne -a$ nên $a+b+c\ne 0.$

Khi đó ta nhân hai vế của $\left(1\right)$ với $a+b+c$ thì được:

$\frac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)}{c+a}+\frac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}=a+b+c$

Hay $\frac{a^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b^2+b\left(a+c\right)}{c+a}+\frac{c^2+c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c$

Nên $\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{c+a}+b+\frac{c^2}{a+b}+c=a+b+c$

Suy ra $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0.$

Vậy $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0.$