Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức – Đề 04 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức $$D$$ là: $$3x\ne 0;x+1\ne 0;$$$\frac{2-4x}{x+1}\ne 0$

Xét $$3x\ne 0$$ ta có $$x\ne 0.$$

Xét $$x+1\ne 0$$ ta có $$x\ne --1.$$

Xét $\frac{2-4x}{x+1}\ne 0$ ta có $$2--4x\ne 0$$ và $$x+1\ne 0,$$ hay $x\ne \frac{1}{2}$ và $$x\ne --1.$$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $$D$$ là $x\ne 0;x\ne -1;x\ne \frac{1}{2}.$

b) Với $x\ne 0;x\ne -1;x\ne \frac{1}{2},$ ta có:

$D=\left(\frac{x+2}{3x}+\frac{2}{x+1}-3\right):\frac{2-4x}{x+1}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)+2\cdot 3x-3\cdot 3x\left(x+1\right)}{3x\cdot \left(x+1\right)}\cdot \frac{x+1}{2-4x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{x^2+2x+x+2+6x-9x^2-9x}{3x\left(x+1\right)}.\frac{x+1}{2-4x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{-8x^2+2}{3x\left(x+1\right)}.\frac{x+1}{2-4x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{2\left(1-4x^2\right)\cdot \left(x+1\right)}{3x\left(x+1\right)\cdot \left(2-4x\right)}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{2\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}{3x\cdot 2\left(1-2x\right)}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{1+2x}{3x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}=\frac{1+2x-3x+x^2-1}{3x}$

$=\frac{x^2-x}{3x}=\frac{x\left(x-1\right)}{3x}=\frac{x-1}{3}$.

Vậy với $x\ne 0;x\ne -1;x\ne \frac{1}{2}$ thì $D=\frac{x-1}{3}.$

c) Ta có $\left(2x-1\right)\left(x^2+1\right)=0$

$2x-1=0$ hoặc $x^2+1=0$ (vô nghiệm do $x^2+1>0$ với mọi $x)$

$x=\frac{1}{2}$

Ta thấy $$x=\frac{1}{2}$$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức $$D$$ tại $$x=\frac{1}{2}$$ là: $D=\frac{\frac{1}{2}-1}{3}=\frac{-\frac{1}{2}}{3}=-\frac{1}{6}.$

Vậy $D=-\frac{1}{6}$ khi $\left(2x-1\right)\left(x^2+1\right)=0.$

Gọi độ dài cạnh hình vuông nhỏ là x (m) (x > 0)

Chu vi của hình vuông nhỏ là 4x (m).

Do hiệu số đo chu vi của hai hình vuông bằng 20 m nên chu vi của hình vuông lớn là 4x + 20 (m).

Khi đó, cạnh của hình vuông lớn là: $\frac{4x+20}{4}=\frac{4\left(x+5\right)}{4}=x+5$ (m).

Diện tích của hình vuông nhỏ là $x^2$ (m²) và diện tích của hình vuông lớn là ${\left(x+5\right)}^2$ (m²).

Vì hiệu số đo diện tích của chúng bằng $65 {\text{m}}^2$ nên ta có phương trình:

Vậy cạnh của hình vuông nhỏ và lớn lần lượt là: 4 m và 9 m.

Hướng dẫn giải

Với $$x\ne --y;$$ $$y\ne --z;$$ $$z\ne --x,$$ ta có:

$A=\frac{x^2-yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2-xz}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^2-xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}$

$=\frac{\left(x^2-yz\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{\left(y^2-xz\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{\left(z^2-xy\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}$

$=\frac{x^{2}y+x^{2}z-y^{2}z-y{z}^2+y^{2}z+x{y}^2-x{z}^2-x^{2}z+z^{2}x+z^{2}y-x^{2}y-x{y}^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}$

$=\frac{0}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=0.$

Vậy $A=0.$