Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo – Đề 10 (có đáp án)

9 câu · Đề giữa kì 2

3/9 câu đang cập nhật đáp án (ghi rõ ở từng câu), chưa tính điểm; điểm tính trên 6 câu còn lại.

Câu 1

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Cho hàm số $f (x) = - 2 - \frac{1}{2} x .$ Giá trị $f (- - 2)$ bằng:

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 2

Đồ thị hàm số $y = x + 2$ đi qua điểm có tọa độ nào sau đây?

Đáp án và lời giải

Đáp án: B

Câu 3

Giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y = (m + 2) x + 5$ là đường thẳng có hệ số góc bằng $- 3$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: D

Câu 4

Cho $Δ A B C,$ $I, K$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $A C .$ Biết $B C = 8 cm .$ Độ dài $I K$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: A

Câu 5

Cho tam giác $A B C$ , $A D$ là đường phân giác của $B A C$ $(D \in B C)$ . Tỉ lệ thức nào sau đây đúng?

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 6

Cho hình bên, trong đó $D E // B C,$ $A D = 12 cm,$ $D B = 18 cm$ và $C E = 30 cm .$ Độ dài $A C$ là

Đáp án và lời giải

Đáp án: C

Câu 7

Câu tự luận

PHẦN II. TỰ LUẬN

Giả sử rằng lượng cung $S$ và lượng cầu $D$ về áo phông tại một buổi biểu diễn được cho bởi các hàm số sau:

$S (p) = - - 600 + 10 p; D (p) = 1200 - - 20 p,$

trong đó $p$ (nghìn đồng) là giá của một chiếc áo phông.

a) Tìm mức giá cân bằng (tức là mức giá mà lượng cung bằng lượng cầu) của áo phông tại buổi biểu diễn này.

b) Vẽ đồ thị của hai hàm số $S (p)$ và $D (p)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

c) Từ đồ thị vẽ được ở câu b, xác định mức giá của áo phông mà lượng cung lớn hơn lượng cầu. Khi đó, điều gì sẽ xảy ra?

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

a) Mức giá khi lượng cung bằng lượng cầu là giá trị $x_{0}$ thỏa mãn:

$- - 600 + 10 x_{0} = 1200 - - 20 x_{0}$

$30 x_{0} = 1800$

$x_{0} = 60$

Vậy mức giá cân bằng là 60 nghìn đồng.

b) Đồ thị hàm số $S (p)$ đi qua hai điểm $(0; - - 600)$ và $(60; 0) .$

Đồ thị hàm số $D (p)$ đi qua hai điểm $(0; 1200)$ và $(60; 0) .$

Đồ thị của hai hàm số được vẽ trong hình dưới:

a) Tìm mức giá cân bằng (tức là mức giá mà lượng cung bằng lượng cầu) của áo phông tại buổi biểu diễn này. b) Vẽ đồ thị của hai hàm số S(p) và D(p) trên cùng một hệ trục tọa độ. (ảnh 1)

c) Từ đồ thị trên, ta thấy khi giá của mỗi chiếc áo lớn hơn 60 nghìn đồng thì lượng cung lớn hơn lượng cầu. Khi đó sẽ có một lượng áo phông bị tồn kho (do không bán được).

Câu 8

Câu tự luận

Cho đường thẳng $(d) : y = (m + 2) x + m$ (với $m$ là tham số).

a) Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ song song với đường thẳng $(d^{'}) : y = - x + 2.$

b) Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt hai trục tọa độ $O x, O y$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho diện tích tam giác $O A B$ bằng $\frac{1}{2} .$

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng $(d) : y = (m + 2) x + m$ song song với đường thẳng $(d^{'}) : y = - x + 2$ thì $m + 2 = - 1$ và $m \neq = - 1,$ do đó $m = - 3$ (thỏa mãn $m \neq = - 1) .$

Vậy $m = - 3.$

b) Để đường thẳng $(d) : y = (m + 2) x + m$ cắt trục $O x$ thì $m + 2 \neq = 0,$ hay $m \neq = - 2.$

Vì $A \in O x$ nên ta gọi $A (x_{1}; 0)$ và vì $B \in O y$ nên ta gọi $B (0; y_{2}) .$

Vì $A (x_{1}; 0) \in (d) : y = (m + 2) x + m$ nên ta có $0 = (m + 2) x_{1} + m,$ suy ra $x_{1} = - \frac{m}{m + 2}$ (do $m \neq = - 2) .$ Do đó $A (- \frac{m}{m + 2}; 0) .$ Suy ra $O A = - \frac{m}{m + 2} = \frac{∣ m ∣}{∣ m + 2 ∣} .$

Vì $B (0; y_{2}) \in (d) : y = (m + 2) x + m$ nên ta có $y_{2} = (m + 2) \cdot 0 + m = m .$ Do đó $B (0; m) .$ Suy ra $O B = ∣ m ∣ .$

Khi đó diện tích tam giác $O A B$ vuông tại $O$ là $S_{O A B} = \frac{1}{2} O A \cdot O B = \frac{1}{2} \cdot \frac{∣ m ∣}{∣ m + 2 ∣} \cdot ∣ m ∣ = \frac{1}{2} \cdot \frac{m ^{2}}{∣ m + 2 ∣} .$

Theo bài, $S_{O A B} = \frac{1}{2},$ nên $\frac{1}{2} \cdot \frac{m ^{2}}{∣ m + 2 ∣} = \frac{1}{2},$ suy ra $m^{2} = ∣ m + 2 ∣ .$

Vì $m^{2} \geq 0$ với mọi $m \neq = - 2$ nên ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1. $m + 2 = m^{2}$

$m^{2} - m - 2 = 0$

$m^{2} + m - 2 m - 2 = 0$

$m (m + 1) - 2 (m + 1) = 0$

$(m + 1) (m - 2) = 0$

$m + 1 = 0$ hoặc $m - 2 = 0$

$m = - 1$ (thỏa mãn) hoặc $m = 2$ (thỏa mãn).

Trường hợp 2. $m + 2 = - m^{2}$

$m^{2} + m + 2 = 0$

$m^{2} + 2 \cdot m \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = 0$

$(m + \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4} = 0$

Vì $(m + \frac{1}{2})^{2} \geq 0$ với mọi $m \neq = - 2$ nên $(m + \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4} > 0,$ do đó trường hợp này không xảy ra.

Vậy $m \in {- 1; 2} .$

Câu 9

Câu tự luận

1) Cho tam giác $A B C$ có $B C = 15 cm, C A = 18 cm$ và $A B = 12 cm .$ Gọi $I$ và $G$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm $Δ A B C .$

a) Tính độ dài các đoạn thẳng $C D$ và $B D .$

b) Chứng minh $I G // B C .$

c) Tính độ dài đoạn thẳng $I G .$

2) Vì kèo mái tôn là một trong những bộ phận không thể thiếu trong cấu tạo mái nhà lợp tôn. Nó giúp chống đỡ và giảm trọng lực của những ảnh hưởng từ các yếu tố bên ngoài tác động vào (Hình a).

1) Cho tam giác ABC có BC = 15cm, CA = 18cm và AB 12cm. Gọi I và G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm tam giác ABC. a) Tính độ dài các đoạn thẳng CD và BD (ảnh 1)

Hình a

Hình b

Một vì kèo mái tôn được vẽ lại như Hình b. Tính độ dài $x$ của cây chống đứng bên và độ dài $y$ của cánh kèo.

Đáp án tham khảo

Lời giải của đề gốc để bạn tự đối chiếu; câu tự luận không tính điểm.

Hướng dẫn giải

a) Gọi $A D$ là đường phân giác góc $B A C$ $(D \in B C) .$

Xét $Δ A B C$ có $A D$ là đường phân giác của $B A C$ nên $\frac{A B}{A C} = \frac{D B}{D C},$ hay $\frac{D C}{A C} = \frac{D B}{A B} .$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\frac{D C}{A C} = \frac{D B}{A B} = \frac{D C + D B}{A C + A B} = \frac{B C}{A C + A B} = \frac{15}{18 + 12} = \frac{1}{2} .

Suy ra $C D = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9 cm$ và $B D = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 cm .$

b) Xét $Δ A C D,$ có $C I$ là đường phân giác của $A C D$ nên $\frac{A I}{D I} = \frac{A C}{C D} = \frac{18}{9} = 2.$

Mặt khác, do $G$ là trọng tâm của $Δ A B C$ nên $\frac{A G}{GM} = 2.$

Do đó $\frac{A I}{I D} = \frac{A G}{GM} = 2,$ theo định lí Thalès đảo ta có $I G // B C .$

b) Gọi $M$ là trung điểm của $B C .$ Khi đó $M B = M C = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7, 5 cm .$

Suy ra $D M = B M - B D = 7, 5 - 6 = 1, 5 cm .$

Xét $Δ A D M$ có $I G // B C,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{I G}{D M} = \frac{A G}{A M} = \frac{2}{3} .$

Suy ra $I G = \frac{2}{3} D M = \frac{2}{3} \cdot 1, 5 = 1 cm .$

Đặt các điểm $A, B, C, D, E, M, N, P$ như hình vẽ trên.

⦁ Xét $Δ A M C$ có $E, P$ lần lượt là trung điểm của $A C, M C$ (do $E A = E C, P M = P C)$ nên $E P$ là đường trung bình của $Δ A M C .$

Do đó $E P = \frac{1}{2} A M = \frac{1}{2} \cdot 2, 7 = 1, 35 (m)$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Hay $x = 1, 35 (m) .$

⦁ Ta có $M B = M N + N B$ và $M C = M P + P C$

Mà $M N = N B = M P = P C$ nên $M B = M C .$

Xét $Δ A B C$ có $D, M$ lần lượt là trung điểm của $A B, B C$ (do $D B = D A, M B = M C)$ nên $D M$ là đường trung bình của $Δ A B C .$

Do đó $D M = \frac{1}{2} A C$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Suy ra $A C = 2 D M = 2 \cdot 2, 8 = 5, 6 (m) .$ Hay $y = 5, 6 (m) .$

Vậy độ dài của cây chống đứng bên và độ dài của của cánh kèo lần lượt là $x = 1, 35 (m);$ $y = 5, 6 (m) .$