Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Cánh diều – Đề 01 (có đáp án)

a) Xét $\Delta ABM$ có $MD$ là đường phân giác của $\widehat{AMB}$ nên $\frac{MA}{MB}=\frac{DA}{DB}$ $\left(1\right)$ (tính chất đường phân giác của tam giác).

Xét $$\Delta ACM$$ có $ME$ là đường phân giác của $\widehat{AMC}$ nên $\frac{MA}{MC}=\frac{EA}{EC}$ $\left(2\right)$ (tính chất đường phân giác của tam giác).

Do $AM$ là đường trung tuyến của $$\Delta ABC$$ nên $M$ là trung điểm của $BC,$ hay $MB=MC=\frac{1}{2}BC.\left(3\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ và $\left(3\right)$ ta có $\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}.$

Theo tính chất tỉ lệ thức ta có $\frac{DA}{DA+DB}=\frac{EA}{EA+EC},$ hay $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},$ suy ra $AD\cdot AC=AE\cdot AB.$

Xét $$\Delta ABC$$ có $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},$ theo định lí Thalès đảo ta có $$DE//BC.$$

b) Xét $\Delta ABM$ có $DI//BM,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{DI}{BM}=\frac{AI}{AM}.$

Xét $$\Delta ACM$$ có $IE//MC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $$\frac{IE}{MC}=\frac{AI}{AM}.$$

Do đó $\frac{DI}{BM}=\frac{IE}{MC}.$

Mà $MB=MC$ (chứng minh ở câu a) nên $DI=IE,$ hay $$I$$ là trung điểm của $DE.$

c) Ta có $MB=MC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 30=15\mathrm{cm}.$

Theo câu a, ta có $\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB},$ suy ra $$\frac{DA}{DA+DB}=\frac{MA}{MA+MB}=\frac{10}{10+15}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}.$$

Do đó $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}.$

Xét $\Delta ABC$ có $DE//BC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}.$

Suy ra $DE=\frac{2}{5}BC=\frac{2}{5}\cdot 30=12\mathrm{cm}.$

d) Để $DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ thì $D,E$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC.$

Xét $\Delta ABM$ có $MD$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên là tam giác cân tại $M.$ Suy ra $MA=MB$ (tính chất tam giác cân).

Tương tự, ta cũng chứng minh được $MA=MC.$

Do đó $MA=MB=MC=\frac{1}{2}BC.$

Xét $\Delta ABC$ có đường trung tuyến $AM$ bằng nửa cạnh $BC$ nên $\Delta ABC$ vuông tại $A.$

Vậy $\Delta ABC$ phải là tam giác vuông tại $A$ thì $DE$ là đường trung bình của tam giác đó.