Đề thi giữa kì 1 Toán 8 Kết nối tri thức – Đề 6 (có đáp án)

b) $$3{\left(x+2\right)}^2+{\left(2x-1\right)}^2-7\left(x+3\right)\left(x-3\right)=36$$

$$3\left(x^2+4x+4\right)+\left(4x^2-4x+1\right)-7\left(x^2-9\right)=36$$

$$3x^2+12x+12+4x^2-4x+1-7x^2+63=36$$

$$\left(3x^2+4x^2-7x^2\right)+\left(12x-4x\right)+\left(12+1+63\right)=36$$

$$8x=-40$$

$$x=-5.$$

Vậy $$x=-5.$$

a) Do $$N$$ là điểm đối xứng của $$M$$ qua $$I$$ nên $I$ là trung điểm của $MN.$

Xét tứ giác $AMCN$ có $I$ là trung điểm của hai đường chéo $AC,MN$ nên $AMCN$ là hình bình hành.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có đường trung tuyến $AM$ nên $AM$ là đường cao của tam giác hay $\widehat{AMC}=90^{\circ }$

Hình bình hành $AMCN$ có $\widehat{AMC}=90^{\circ }$ nên $AMCN$ là hình chữ nhật.

b) Do $AMCN$ là hình chữ nhật nên $AN//MC$ và $AN=MC.$

Lại có $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB=MC$

Do đó $AN=MB\left(=MC\right)$

Xét tứ giác $ANMB$ có $AN//MB$ (do $AN//MC)$ và $AN=MB$ nên $ANMB$ là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo $$AM,BN$$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Lại có $E$ là trung điểm của $AM$ nên $E$ cũng là trung điểm của $BN$.

c) Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB=AC$

Lại có $K,I$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $AK=BK=\frac{1}{2}AB$ và $AI=CI=\frac{1}{2}AC$

Do đó $AK=AI\left(1\right)$

Mặt khác $ANCM$ là hình chữ nhật nên $AC=MN$ và $I$ là trung điểm của $AC,MN$

Suy ra $AI=MI\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $AK=MI=AI$

Ta có: $ANMB$ là hình bình hành nên $AB//MN$ hay $AK//MI$

Tứ giác $AKMI$ có $AK=MI$ và $AK//MI$ nên $AKMI$ là hình bình hành

Lại có $AK=AI$ nên $AKMI$ là hình thoi

Để $AKMI$ là hình vuông thì cần thêm điều kiện $\widehat{KAI}=90^{\circ }$, khi đó tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Vậy để $AKMI$ là hình vuông thì tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.

Thật vậy, khi tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ ta dễ dàng chứng minh được $AKMI$ là hình thoi có $\widehat{KAI}=90^{\circ }$ nên là hình vuông.