Đề thi cuối kì Toán 8 Cánh diều – Đề 9 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

c) $2x^2-x-6=0$

$2x^2-4x+3x-6=0$

$2x\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)=0$

$\left(x-2\right)\left(2x+3\right)=0$

Suy ra $x-2=0$ hoặc $2x+3=0$

$x=2$ hoặc $2x=-3$

$x=2$ hoặc $x=-\frac{3}{2}.$

Vậy $x\in \left\{2;-\frac{3}{2}\right\}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right).$

$x^2+x+1=x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}>0$ với mọi $x.$

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x^2-4\ne 0,$ $x-1\ne 0$ hay $x-2\ne 0,$ $x+2\ne 0$ và $x-1\ne 0$, tức là $x\ne 2,x\ne -2$ và $x\ne 1.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x\ne 2,x\ne -2$ và $x\ne 1.$

b) Với $x\ne 2,x\ne -2$ và $x\ne 1,$ ta có:

$$A=\frac{x^3-1}{x^2-4}\cdot \left(\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+x+1}\right)$$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x^2-4}\cdot \frac{1}{x-1}-\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x^2-4}\cdot \frac{x+1}{x^2+x+1}$

$=\frac{x^2+x+1}{x^2-4}-\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x^2-4}$

$=\frac{x^2+x+1-\left(x^2-1\right)}{x^2-4}$

$=\frac{x^2+x+1-x^2+1}{x^2-4}$

$$=\frac{x+2}{x^2-4}=\frac{x+2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{1}{x-2}.$$

Vậy với $x\ne 2,x\ne -2$ và $x\ne 1,$ thì $A=\frac{1}{x-2}.$

c) Ta có $\left|x+3\right|=1$ suy ra $x+3=1$ hoặc $x+3=-1$

Do đó $x=-2$ (không thỏa mãn điều kiện) hoặc $x=-4$ (thỏa mãn điều kiện)

Thay $x=-4$ vào biểu thức $A=\frac{1}{x-2},$ ta được: $A=\frac{1}{-4-2}=-\frac{1}{6}.$

Vậy $A=-\frac{1}{6}$ khi $\left|x+3\right|=1.$

Hướng dẫn giải

1) Diện tích xung quanh của một hộp quà là: $S_{xq}=\frac{1}{2}\cdot \left(4\cdot 6\right)\cdot 4=48\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right).$

Diện tích toàn phần của một hộp quà là

Để làm 4 hộp quà bạn Hoa cần dùng diện tích giấy là:

$4\cdot 84=336\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right).$

Vậy diện tích giấy mà bạn Hoa cần dùng để làm 4 hộp quà đó là $336\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2.$

2)

a) Do $$D,E$$ lần lượt là hình chiếu của điểm $$M$$ trên đường thẳng $$AB,AC$$ nên $$MD\perp AB,$$ $$ME\perp AC.$$

Suy ra $$\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=90^{\circ }$$

Tam giác $$ABC$$ vuông cân tại $$A$$ nên $$\widehat{BAC}=90^{\circ }$$

Tứ giác $$ADME$$ có $\widehat{DAE}=\widehat{AEM}=\widehat{MDA}=90^{\circ }$ nên $$ADME$$ là hình chữ nhật.

b) Do $$ADME$$ là hình chữ nhật nên $$DM//AC.$$

Suy ra $\widehat{BMD}=\widehat{ACB}$ (hai góc so le trong).

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^{\circ }$ (vì tam giác $$ABC$$ vuông cân tại $$A),$$ suy ra $\widehat{BMD}=\widehat{ABC}=45^{\circ }.$

Do đó tam giác $$BDM$$ cân tại $$D.$$ Suy ra $$BD=DM.$$

Chu vi của hình chữ nhật $$ADME$$ là: $$2\left(AD+DM\right)=2\left(AD+BD\right)=2AB.$$

Mà $$AB$$ không đổi nên chu vi của tứ giác $$ADME$$ không đổi.

d) Do $$ADME$$ là hình chữ nhật nên $$AM=DE.$$

Suy ra $$DE$$ có độ dài nhỏ nhất khi $$AM$$ có độ dài nhỏ nhất.

Vậy $$M$$ là hình chiếu của $$A$$ trên đường thẳng $$BC.$$

Trong tam giác $$ABC$$ vuông cân tại $$A,$$ ta có:

$$AC=AB=2\mathrm{cm}$$ và $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=2^2+2^2=8$$ (định lý Pythagore)

Suy ra $$BC=\sqrt{8}\mathrm{cm}$$.

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $$M$$ và $\Delta ACM$ vuông tại $$M$$ có:

Cạnh $$AM$$ chung, $\widehat{ABM}=\widehat{ACM}$ (do $\Delta ABC$ vuông cân tại $$A)$$

Do đó $\Delta ABM=\Delta ACM$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra $BM=CM=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}\mathrm{cm}$.

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $$M$$ có $\widehat{ABM}=45^{\circ }$ nên $\widehat{BAM}=\widehat{ABM}=45^{\circ }$.

Suy ra tam giác $$ABM$$ vuông cân tại $$M.$$

Do đó $DE=AM=BM=\sqrt{2}\left(\mathrm{cm}\right)$.

Vậy $DE=\sqrt{2}\mathrm{cm}$.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}.$

Suy ra $\frac{yz+xz+xy}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}.$

$\left(yz+xz+xy\right)\left(x+y+z\right)=xyz$

$yz\left(x+y+z\right)+xz\left(x+y+z\right)+xy\left(x+y+z\right)=xyz$

$$xyz+y^{2}z+y{z}^2+x^{2}z+xyz+x{z}^2+x^{2}y+x{y}^2+xyz=xyz$$

$$\left(x^{2}z+2xyz+y^{2}z\right)+\left(y{z}^2+x{z}^2\right)+\left(x^{2}y+x{y}^2\right)=0$$

$$z{\left(x+y\right)}^2+z^2\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)=0$$

$$\left(x+y\right)\left[z\left(x+y\right)+z^2+xy\right]=0$$

$$\left(x+y\right)\left(xz+yz+z^2+xy\right)=0$$

$$\left(x+y\right)\left[\left(xz+xy\right)+\left(yz+z^2\right)\right]=0$$

$$\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]=0$$

$$\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0$$

Suy ra $x+y=0$ hoặc $y+z=0$ hoặc $x+z=0.$

⦁ Nếu $x+y=0$ thì $x=-y,$ khi đó $$x^{2023}=-y^{2023}.$$

Ta có $$\frac{1}{x^{2023}}+\frac{1}{y^{2023}}+\frac{1}{z^{2023}}=\frac{1}{-y^{2023}}+\frac{1}{y^{2023}}+\frac{1}{z^{2023}}=\frac{1}{z^{2023}};$$

$$\frac{1}{x^{2023}+y^{2023}+z^{2023}}=\frac{1}{-y^{2023}+y^{2023}+z^{2023}}=\frac{1}{z^{2023}}.$$

Do đó $$\frac{1}{x^{2023}}+\frac{1}{y^{2023}}+\frac{1}{z^{2023}}=\frac{1}{x^{2023}+y^{2023}+z^{2023}}.$$

⦁ Nếu $y+z=0$ hoặc $x+z=0,$ chứng minh tương tự ta cũng có

$$\frac{1}{x^{2023}}+\frac{1}{y^{2023}}+\frac{1}{z^{2023}}=\frac{1}{x^{2023}+y^{2023}+z^{2023}}.$$

Vậy nếu $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$ thì $$\frac{1}{x^{2023}}+\frac{1}{y^{2023}}+\frac{1}{z^{2023}}=\frac{1}{x^{2023}+y^{2023}+z^{2023}}.$$