Đề thi cuối kì Toán 8 Cánh diều – Đề 7 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

c) $$2x^5-4x^3+2x=0$$

$$2x\left(x^4-2x^2+1\right)=0$$

$$2x\left[{\left(x^2\right)}^2-2x^2+1^2\right]=0$$

$$2x{\left(x^2-1\right)}^2=0$$

$$2x{\left[\left(x-1\right)\left(x+1\right)\right]}^2=0$$

$$2x{\left(x-1\right)}^2{\left(x+1\right)}^2=0$$

Suy ra $$2x=0$$ hoặc $${\left(x-1\right)}^2=0$$ hoặc $${\left(x+1\right)}^2=0$$

$$x=0$$ hoặc $$x-1=0$$ hoặc $$x+1=0$$

$$x=0$$ hoặc $$x=1$$ hoặc $$x=-1$$

Vậy $$x\in \left\{-1;0;1\right\}$$.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức $S$ là: $$x\ne 0;x+2\ne 0$$ hay $$x\ne 0;x\ne -2.$$

b) Với $$x\ne 0;x\ne -2,$$ ta có:

$S=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}\cdot \left(1-\frac{x^2}{x+2}\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$

$=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}\cdot 1-\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}\cdot \frac{x^2}{x+2}-\frac{x^2+6x+4}{x}$

$=\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}-x\left(x+2\right)-\frac{x^2+6x+4}{x}$

$=\left[\frac{{\left(x+2\right)}^2}{x}-\frac{x^2+6x+4}{x}\right]-x\left(x+2\right)$

$=\frac{x^2+4x+4-x^2-6x-4}{x}-x\left(x+2\right)$

$=\frac{-2x}{x}-x\left(x+2\right)$$=-2-\left(x^2+2x\right).$

$=-2-x^2-2x.$

Ta thấy $$x=0,1$$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức $$S$$ tại $$x=0,1$$ là:

$$S=-2-0,1^2-2\cdot 0,1=--2--0,01--0,2=-2,21.$$

c) Ta có: $S=-2-x^2-2x=-\left(x^2+2x+1\right)-1=-{\left(x+1\right)}^2-1.$

Suy ra $$S$$ đạt giá trị lớn nhất khi $-{\left(x+1\right)}^2-1$ đạt giá trị lớn nhất.

Mà với mọi x, ta có $${\left(x+1\right)}^2\ge 0$$ hay $$-{\left(x+1\right)}^2-1\le -1.$$

Vậy giá trị lớn nhất của $$S$$ là $$-1$$ khi $${\left(x+1\right)}^2=0$$ hay $$x=-1$$ (thoả mãn điều kiện xác định).

Hướng dẫn giải

1)

a) Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ là:

$S_{xq}=\frac{1}{2}\cdot \left(AB+BC+CA\right)\cdot SI=\frac{1}{2}\cdot \left(5+5+5\right)\cdot 6=45\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right).$

Tam giác $ABC$ là tam giác đều nên đường trung tuyến $CI$ đồng thời là đường cao.

Xét $\Delta ACI$ vuông tại $I$ có $A{C}^2=A{I}^2+C{I}^2$

Suy ra $C{I}^2=A{C}^2-A{I}^2=5^2-{\left(\frac{1}{2}\cdot 5\right)}^2=25-\frac{25}{4}=\frac{75}{4}$

Do đó $CI=\sqrt{\frac{75}{4}}\approx 4,33\mathrm{cm}.$

Diện tích đáy của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ là:

$S_{đáy}=\frac{1}{2}\cdot CI\cdot AB\approx \frac{1}{2}\cdot 4,33\cdot 5\approx 10,83\left({\text{cm}}^2\right)\text{.}$

Diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ là:

$S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}\approx 45+10,83=55,83\left({\text{cm}}^2\right)\text{.}$

b) Thể tích của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ là:

$V=\frac{1}{3}\cdot SO\cdot S_{đáy}\approx \frac{1}{3}\cdot 5,8\cdot 10,83\approx 20,94\left({\text{cm}}^3\right).$

2)

a) Do tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $AD=BC,AD//BC$.

Vì $AD=BC,$ $BE=\frac{1}{2}BC$ và $AF=\frac{1}{2}AD$ (do $F$ là trung điểm của $AD)$ nên $BE=AF.$

Tứ giác $ABEF$ có $BE=AF$ và $BE//AF$ (vì $AD//BC)$

Suy ra, tứ giác $ABEF$ là hình bình hành.

Do $E$ là trung điểm của $BC$ nên $BE=\frac{1}{2}BC$ hay $BC=2BE.$

Vì $BC=2AB$ và $BC=2BE$ nên $AB=BE$.

Hình bình hành $ABEF$ có $AB=BE$ nên $ABEF$ là hình thoi.

b) Vì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $AB=CD,AB//CD$.

Vì $AB=CD$ và $AB=BI$ (do $B$ là trung điểm của $AI)$ nên $BI=CD$.

Tứ giác $BICD$ có $BI//CD$ (vì $AB//CD)$ và $BI=CD$ nên tứ giác $BICD$ là hình bình hành.

Ta thấy $BD$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác của tam giác $ADI$ nên tam giác $ADI$ cân tại $D$.

Suy ra $BD$ cũng là đường cao của tam giác $ADI$ nên $BD\perp BI$ hay $\widehat{DBI}=90^{\circ }.$

Hình bình hành $BICD$ có $\widehat{DBI}=90^{\circ }$ nên tứ giác $BICD$ là hình chữ nhật.

Khi đó, $E$ là trung điểm của hai đường chéo $BC$ và $DI$.

Tam giác $ADI$ cân tại $D$ có $\widehat{DAI}=60^{\circ }$ nên tam giác $ADI$ là tam giác đều.

$\Delta ADI$ là tam giác đều có $AE$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Do đó, $AE\perp DI$ hay $\widehat{AED}=90^{\circ }$.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài: $x^2+\frac{8}{x^2}+\frac{y^2}{8}=8$ suy ra $2x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{y^2}{4}=16$

Ta có: $$2x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{y^2}{4}=\left(x^2+\frac{16}{x^2}-8\right)+\left(x^2+\frac{y^2}{4}+xy\right)-xy+8$$

$$={\left(x-\frac{4}{x}\right)}^2+{\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2-xy+8.$$

Mà $2x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{y^2}{4}=16$ nên $${\left(x-\frac{4}{x}\right)}^2+{\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2-xy+8=16$$.

Do đó $${\left(x-\frac{4}{x}\right)}^2+{\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2=xy+8.$$

Nhận xét: Với mọi $x,y$ ta có $${\left(x-\frac{4}{x}\right)}^2\ge 0,{\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2\ge 0$$

Do đó $$xy+8\ge 0$$ hay $$xy\ge -8.$$

Khi đó $A=xy+2024\ge -8+2024=2016.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $$\{\begin{array}{l}{\left(x-\frac{4}{x}\right)}^2=0\\ {\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2=0\end{array}$$ hay $$\{\begin{array}{l}x-\frac{4}{x}=0\\ x+\frac{y}{2}=0\end{array}$$

Tức là $$\{\begin{array}{l}{x}^2-4=0\\ y=-2x\end{array}$$ nên $$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-4\end{array}$$ hoặc $$\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=4\end{array}.$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $2016$ khi $\left(x;y\right)\in \left\{\left(2;-4\right);\left(-2;4\right)\right\}.$