Đề thi cuối kì Toán 8 Cánh diều – Đề 6 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

a) $$2x^2-8x=0$$ $$2x\left(x-4\right)=0$$ Suy ra $$2x=0$$ hoặc $$x-4=0$$  $$x=0$$ hoặc $$x=4$$ Vậy $x\in \left\{0;4\right\}$. b) ${\left(x+2\right)}^2-x\left(x-1\right)=10$ $x^2+4x+4-x^2+x=10$ $$\left(x^2-x^2\right)+\left(4x+x\right)=10-4$$ $5x=6$ $x=\frac{6}{5}$ Vậy$x=\frac{6}{5}$.

c) $$x^3-6x^2+9x=0$$ $$x\left(x^2-6x+9\right)=0$$ $$x{\left(x-3\right)}^2=0$$ Suy ra $$x=0$$ hoặc $${\left(x-3\right)}^2=0$$  $$x=0$$ hoặc $$x-3=0$$  $$x=0$$ hoặc $$x=3$$ Vậy $x\in \left\{0;3\right\}$.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức $$D$$ là: $$3x\ne 0;x+1\ne 0;$$$\frac{2-4x}{x+1}\ne 0$.

Xét $$3x\ne 0$$ ta có $$x\ne 0.$$

Xét $$x+1\ne 0$$ ta có $$x\ne --1.$$

Xét $\frac{2-4x}{x+1}\ne 0$ ta có $$2--4x\ne 0$$ và $$x+1\ne 0,$$ hay $x\ne \frac{1}{2}$ và $$x\ne --1.$$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $$D$$ là $x\ne 0;x\ne -1;x\ne \frac{1}{2}.$

b) Với $x\ne 0;x\ne -1;x\ne \frac{1}{2},$ ta có:

$D=\left(\frac{x+2}{3x}+\frac{2}{x+1}-3\right):\frac{2-4x}{x+1}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)+2\cdot 3x-3\cdot 3x\left(x+1\right)}{3x\cdot \left(x+1\right)}\cdot \frac{x+1}{2-4x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{x^2+2x+x+2+6x-9x^2-9x}{3x\left(x+1\right)}\cdot \frac{x+1}{2-4x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{-8x^2+2}{3x\left(x+1\right)}\cdot \frac{x+1}{2-4x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{2\left(1-4x^2\right)\cdot \left(x+1\right)}{3x\left(x+1\right)\cdot \left(2-4x\right)}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{2\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}{3x\cdot 2\left(1-2x\right)}-\frac{3x-x^2+1}{3x}$

$=\frac{1+2x}{3x}-\frac{3x-x^2+1}{3x}=\frac{1+2x-3x+x^2-1}{3x}$

$=\frac{x^2-x}{3x}=\frac{x\left(x-1\right)}{3x}=\frac{x-1}{3}$.

Vậy với $x\ne 0;x\ne -1;x\ne \frac{1}{2},$ thì $D=\frac{x-1}{3}.$

c) Ta thấy $$x=\frac{1}{2}$$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức $$D$$ tại $$x=\frac{1}{2}$$ là: $D=\frac{\frac{1}{2}-1}{3}=\frac{-\frac{1}{2}}{3}=-\frac{1}{6}.$

Vậy $D=-\frac{1}{6}$ khi $x=\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

a) 1 triệu đồng $$=1000$$ nghìn đồng.

Hàm số biểu thị tổng chi phí $$y$$ (nghìn đồng) để thuê một chiếc thuyền du lịch trong $$x$$ (giờ) là: $$y=1000+500x$$ (nghìn đồng).

b) Đồ thị hàm số $$y=1000+500x$$ đi qua hai điểm $$\left(--2;0\right)$$ và $$\left(0;1000\right)$$ nên đồ thị hàm số được vẽ như hình dưới.

$y$ (nghìn đồng) để thuê một chiếc thuyền du lịch trong $$x$$ (giờ). (ảnh 1)">

Tổng chi phí cho một lần thuê trong $$x=3$$ giờ tương ứng với điểm $$y=2500$$ nghìn đồng = 2 triệu 500 nghìn đồng.

c) Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm $$\left(0;1000\right).$$ Giao điểm này biểu thị chi phí cố định khi thuê thuyền, dù không sử dụng giờ nào (tức là $$x=0)$$ vẫn phải trả phí 1 triệu đồng này, nếu đặt thuê.

Hướng dẫn giải

1) a) Chiều cao của mỗi hình chóp tứ giác đều là $30:2=15\left(\mathrm{cm}\right).$

Thể tích của lồng đèn quả trám là: $V=2\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}\cdot {20}^2\cdot 15\right)=4000\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right).$

b) Một nửa lồng đèn được mô tả bởi hình chóp $S.ABCD$ với các kích thước như hình vẽ.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Do đó $MB=MC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\cdot 20=10\left(\mathrm{cm}\right).$

Vì $\Delta SBC$ cân tại $S$ nên đường trung tuyến $SM$ đồng thời là đường cao, do đó $SM\perp BC$ nên $\Delta SBM$ vuông tại $M.$

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta SBM$ vuông tại $M,$ ta có:

$S{B}^2=S{M}^2+M{B}^2$

Suy ra $S{M}^2=S{B}^2-M{B}^2=26^2-10^2=676-100=576.$

Do đó $$SM=24\left(\mathrm{cm}\right).$$

Diện tích xung quanh (diện tích 4 mặt bên) của hình chóp tứ giác đều là:

$S^{xq}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\cdot \left(4\cdot 20\right)\cdot 24=960\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right).$

Diện tích giấy mờ bạn Hà cần chuẩn bị để làm lồng đèn hình quả trám đó là:

$S=2S^{xq}=2\cdot 960=1920\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right).$

Vậy diện tích giấy mờ bạn Hà cần chuẩn bị để làm lồng đèn hình quả trám đó là $1920\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2.$

2)

a) Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại trung điểm $N$ của mỗi đường nên $ABCD$ là hình bình hành.

Do đó $AD//BC.$

Ta có $AP\perp BC;AD//BC$ suy ra $AP\perp AD$ hay $\widehat{PAQ}=90^{\circ }$.

Vì $AP\perp BC,CQ\perp AD$ nên $\widehat{APC}=90^{\circ };\widehat{AQC}=90^{\circ }$.

Tứ giác $APCQ$ có $\widehat{PAQ}=90^{\circ }$; $\widehat{APC}=90^{\circ };\widehat{AQC}=90^{\circ }$ nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo $AC,PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $N$ là trung điểm của $AC$ nên $N$ là trung điểm của $PQ$.

b) Theo câu a, $ABCD$ là hình bình hành, nên để $ABCD$ là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện $AB\perp BC,AB=BC$ hay$\Delta ABC$ vuông cân tại $B.$

Vậy để tứ giác $ABCD$ là hình vuông thì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B.$

Hướng dẫn giải

Ta có $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$

$2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca$

$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0$

$\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0$

${\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2+{\left(c-a\right)}^2=0$ (*)

Nhận xét: Với mọi $a,b,c$ ta có ${\left(a-b\right)}^2\ge 0;{\left(b-c\right)}^2\ge 0;{\left(c-a\right)}^2\ge 0$

Khi đó, ${\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2+{\left(c-a\right)}^2\ge 0$

Do đó để (*) xảy ra thì $$\{\begin{array}{l}{\left(a-b\right)}^2=0\\ {\left(b-c\right)}^2=0\\ {\left(c-a\right)}^2=0\end{array}$$ hay $$\{\begin{array}{l}a-b=0\\ b-c=0\\ c-a=0\end{array}$$ tức là $$\{\begin{array}{l}a=b\\ b=c\\ c=a\end{array}$$.

Khi đó $$a=b=c$$ và $a+b+c=2025$

Do đó $$a=b=c=\frac{2025}{3}=675.$$