Đề thi cuối kì Toán 8 Cánh diều – Đề 2 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ⦁ $2x^2+8=2\left(x^2+4\right).$

⦁ $$x^3-2x^2+4x-8=\left(x^3-2x^2\right)+\left(4x-8\right)=x^2\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+4\right)$$.

Với mọi $x$ thì $x^2\ge 0$ nên $x^2+4\ge 4>0$ hay $x^2+4>0.$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $A$ là  $x-2\ne 0$ và $x\ne 0$ hay $x\ne 2$ và $x\ne 0.$

b) Với $x\ne 2$ và $x\ne 0,$ ta có:

$A=\left(\frac{2x-x^2}{2x^2+8}-\frac{2x^2}{x^3-2x^2+4x-8}\right)\cdot \left(\frac{2}{x^2}-\frac{x-1}{x}\right)$

$=\left[\frac{2x-x^2}{2\left(x^2+4\right)}-\frac{2x^2}{\left(x^2+4\right)\left(x-2\right)}\right]\cdot \left[\frac{2}{x^2}-\frac{x\left(x-1\right)}{x^2}\right]$

$$=\frac{\left(2x-x^2\right)\left(x-2\right)-2x^2\cdot 2}{2\left(x^2+4\right)\left(x-2\right)}\cdot \frac{2-x^2+x}{x^2}$$

$$=\frac{2x^2-4x-x^3+2x^2-4x^2}{2\left(x^2+4\right)\left(x-2\right)}\cdot \frac{-x^2+2x-x+2}{x^2}$$

$$=\frac{-4x-x^3}{2\left(x^2+4\right)\left(x-2\right)}\cdot \frac{-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)}{x^2}$$

$$=\frac{-x\left(x^2+4\right)}{2\left(x^2+4\right)\left(x-2\right)}\cdot \frac{-\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{x^2}$$$$=\frac{x+1}{2x}.$$

Vậy với $x\ne 2$ và $x\ne 0,$ thì $A=\frac{x+2}{2x}.$

c) Thay $x=2024$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A=\frac{x+2}{2x},$ ta được:

$A=\frac{2024+2}{2\cdot 2024}=\frac{2026}{2\cdot 2024}=\frac{1013}{2024}.$

Vậy với $x=2024$ thì $A=\frac{1013}{2024}.$

Hướng dẫn giải

a) Nhiệt lượng chì tỏa ra để giảm nhiệt độ từ $100^{\circ }\mathrm{C}$ xuống $t^{\circ }\mathrm{C}$ là:

$Q_{chi}=0,31\cdot 130\cdot \left(100-t\right)=-40,3t+4030$ (J).

Công thức trên là hàm số bậc nhất với hệ số $a=-40,3$ và $b=4030.$

b) Nhiệt lượng chì thu vào để tăng nhiệt độ từ $58,5^{\circ }\mathrm{C}$ lên $t^{\circ }\mathrm{C}$ là:

$Q_{chi}=0,25\cdot 4200\cdot \left(t-58,5\right)=1050t-61425$ (J).

Khi cân bằng nhiệt, nhiệt lượng tỏa ra bằng với nhiệt lượng thu vào nên ta có: $Q_{nuoc}=Q_{chi}$.

Do đó $1050t-61425=-40,3t+4030$

$1090,3t=65455$

$t\approx 60$

Vậy nhiệt độ của nước và chì khi đạt trạng thái cân bằng nhiệt là khoảng $60^{\circ }\mathrm{C}.$

Hướng dẫn giải

1) a) Ta có $CM\perp AB$ và $MA=MB=\frac{1}{2}CB.$

Vì $SO$ là đường cao của hình chóp nên $O$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

Do đó $CM=\frac{3}{2}CO=\frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\left(\mathrm{cm}\right).$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông $CBM,$ ta có: $C{B}^2=C{M}^2+M{B}^2$

Suy ra $C{M}^2=C{B}^2-M{B}^2=C{B}^2-{\left(\frac{1}{2}CB\right)}^2=\frac{3}{4}C{B}^2.$

Do đó ${\left(3\sqrt{3}\right)}^2=\frac{3}{4}C{B}^2$ suy ra $CB=6\mathrm{cm}.$

Vì các mặt của hình chóp $S.ABC$ là các tam giác đều nên các cạnh bên của hình chóp có độ dài là $6\mathrm{cm}.$

b) Vì các tam giác $SAB$ và $ABC$ là các tam giác đều bằng nhau nên ta có $SM=CM=3\sqrt{3}\left(\mathrm{cm}\right).$

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ là:

$S_{xq}=\frac{1}{2}\left(AB+BC+CA\right)\cdot SM=\frac{1}{2}\cdot \left(6+6+6\right)\cdot 3\sqrt{3}=27\sqrt{3}\approx 46,77\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right).$

2)

S.ABC có các mặt (ảnh 2)">

a) Xét $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AH$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao của tam giác.

Do đó $AH\perp BC$ nên $\Delta AHB$ và $\Delta AHC$ đều vuông tại $H.$

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$ có $HK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AB$ nên $KH=\frac{1}{2}AB$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).

Tương tự, xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$ ta có $IH=\frac{1}{2}AC.$

Mà $I,$ $K$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$ nên $KA=KB=\frac{1}{2}AB;$ $IA=IC=\frac{1}{2}AC.$

Lại có $AB=AC$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A)$

Do đó $KA=KH=IA=IH.$

Xét tứ giác $AKHI$ có $KA=KH=IA=IH$ nên là hình thoi.

b) Xét tứ giác $AHCE$ có $I$ là trung điểm của hai đường chéo $AC,HE$ nên $AHCE$ là hình bình hành.

Lại có $\widehat{AHC}=90^{\circ }$ nên hình bình hành $AHCE$ là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật $AHCE$ là hình vuông thì hai cạnh kề bằng nhau, tức $HA=HC.$

Mà $H$ là trung điểm của $BC$ nên $HB=HC=\frac{1}{2}BC.$

Khi đó $$HA=HB=HC=\frac{1}{2}BC.$$

Xét $\Delta ABC$ có đường trung tuyến $AH$ thỏa mãn $$HA=\frac{1}{2}BC$$ nên $\Delta ABC$ vuông tại $A.$

Vậy $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ thì $AHCE$ là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có: $M=\frac{{\left(a-2\right)}^2}{\left(b-2\right)\left(c-2\right)}+\frac{{\left(b-2\right)}^2}{\left(a-2\right)\left(c-2\right)}+\frac{{\left(c-2\right)}^2}{\left(a-2\right)\left(b-2\right)}$

$=\frac{{\left(a-2\right)}^3+{\left(b-2\right)}^3+{\left(c-2\right)}^3}{\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)}$.

Đặt $$a-2=x;b-2=y;c-2=z.$$

Khi đó $M=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}.$

Mặt khác, từ $a+b+c=6$ suy ra $\left(a-2\right)+\left(b-2\right)+\left(c-2\right)=0$

Hay $x+y+z=0$

Suy ra $x+y=-z$

$${\left(x+y\right)}^3={\left(-z\right)}^3$$

$x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=-z^3$

$x^3+y^3+3xy\left(-z\right)=-z^3$

$x^3+y^3+z^3=3xyz$.

Do đó $M=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}=\frac{3xyz}{xyz}=3.$

Vậy $M=3.$