Đề thi cuối kì Toán 8 Cánh diều – Đề 1 (có đáp án)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Ta có $25x^2-1={\left(5x\right)}^2-1=\left(5x-1\right)\left(5x+1\right).$

Biểu thức $A$ xác định khi và chỉ khi $2x-3\ne 0;5x-1\ne 0;5x+1\ne 0$ hay $x\ne \frac{3}{2};x\ne \frac{1}{5};x\ne -\frac{1}{5}.$

b) Với $x\ne \frac{3}{2};$ $x\ne \frac{1}{5};$ $x\ne -\frac{1}{5}$ ta có:

$A=\frac{5x+1}{2x-3}\cdot \frac{x+2}{25x^2-1}-\frac{8-3x}{25x^2-1}:\frac{2x-3}{5x+1}$

$=\frac{5x+1}{2x-3}\cdot \frac{x+2}{25x^2-1}-\frac{8-3x}{25x^2-1}\cdot \frac{5x+1}{2x-3}$

$=\frac{5x+1}{2x-3}\cdot \left(\frac{x+2}{25x^2-1}-\frac{8-3x}{25x^2-1}\right)$

$=\frac{5x+1}{2x-3}\cdot \left(\frac{x+2-8+3x}{25x^2-1}\right)$

$=\frac{5x+1}{2x-3}\cdot \frac{4x-6}{25x^2-1}$

$=\frac{\left(5x+1\right)\cdot 2\left(2x-3\right)}{\left(2x-3\right)\cdot \left(5x-1\right)\left(5x+1\right)}$$=\frac{2}{5x-1}.$

Do đó $A=\frac{2}{5x-1}.$

Từ $A\cdot B=\frac{x+2}{5x-1}$ suy ra $$B=\frac{x+2}{5x-1}:A=\frac{x+2}{5x-1}:\frac{2}{5x-1}=\frac{x+2}{5x-1}\cdot \frac{5x-1}{2}=\frac{x+2}{2}.$$

Vậy $B=\frac{x+2}{2}.$

c) Thay $x=\frac{3}{5}$ vào biểu thức $B=\frac{x+2}{2},$ ta được: $B=\frac{\frac{3}{5}+2}{2}=\frac{\frac{13}{5}}{2}=\frac{13}{10}.$

Vậy với $x=\frac{3}{5}$ thì $B=\frac{13}{10}.$

Hướng dẫn giải

a) Công thức tính $y$ theo $x$ trong trường hợp một người thuê nhà của chủ nhà A là:

$y=5000000+3500x$ (đồng).

Công thức tính $y$ theo $x$ trong trường hợp một người thuê nhà của chủ nhà B là:

$y=4500000+4000x$ (đồng).

b) Để số tiền thuê nhà phải trả trong mỗi tháng cho chủ nhà A và chủ nhà B bằng nhau thì:

$5000000+3500x=4500000+4000x$

Suy ra $4000x-3500x=5000000-4500000$

Do đó $500x=500000$

Nên $x=500000:500=1000$

Vậy khi số kW.h điện tiêu thụ mỗi tháng của người thuê nhà là $1000$ (kW.h) thì số tiền thuê nhà phải trả trong mỗi tháng cho chủ nhà A và chủ nhà B bằng nhau.

Hướng dẫn giải

1)

ABC vuông tại \(A,\ (ảnh 2)">

a) Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ $A$ đến $BC.$

Bánh tro có dạng hình chóp tam giác đều $S.ABC$ nên đáy $ABC$ là tam giác đều.

Suy ra $AC=BC=AB=5\mathrm{cm}.$

Khi đó ta cũng có đường cao $AH$ đồng thời là đường trung tuyến nên

$HB=HC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 5=2,5\left(\mathrm{cm}\right).$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ (do $AH\perp BC)$ có:

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$ (định lí Pythagore)

Do đó $A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2=5^2-2,5^2=25-6,25=18,75$

Suy ra $AH=\sqrt{18,75}=\sqrt{\frac{75}{4}}=\sqrt{\frac{25\cdot 3}{4}}=\sqrt{{\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}\left(\mathrm{cm}\right).$

Vậy chiều cao của mặt đáy chiếc bánh tro là $\frac{5\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}.$

b) Diện tích đáy hình chóp tam giác đều là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AH\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}\cdot 5=\frac{25\sqrt{3}}{4}\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2\right).$

Thể tích của hình chóp tam giác đều là:

$V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{25\sqrt{3}}{4}\cdot 4=\frac{25\sqrt{3}}{3}\approx 14,4\left(\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\right).$

Vậy thể tích của chiếc bánh tro khoảng $$14,4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3.$$

2)

ABC vuông tại \(A,\ (ảnh 3)">

a) ⦁ Ta có \(DE = DM\) nên $D$ là trung điểm của $EM.$

Xét tứ giác $AEBM$ có $D$ là trung điểm của hai đường chéo $AB$ và $EM.$

Do đó tứ giác $AEBM$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường trung tuyến $AM$ ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AM=\frac{1}{2}BC$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Vì $AM$ là đường trung tuyến nên $M$ là trung điểm của $BC,$ do đó $BM=CM=\frac{1}{2}BC.$

Suy ra $AM=BM=CM.$

Hình bình hành $AEBM$ có hai cạnh kề bằng nhau $AM=BM$ nên là hình thoi.

⦁ Do $AEBM$ hình thoi nên $AE=BM$ và $AE//BM.$

Do đó $AE=CM$ và $AE//CM.$

Tứ giác $ACME$ có $AE=CM$ và $AE//CM$ nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do$AEBM$ là hình thoi nên để $AEBM$ là hình vuông thì $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ hay $AM\perp BC$

Khi đó $\Delta ABC$ có đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao nên sẽ là tam giác cân tại $A.$

Vậy $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ thì $AEBM$ là hình vuông.

Hướng dẫn giải

⦁ Ta có: ${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)$.

Mà $a+b=1$ nên $a^3+b^3+3ab\cdot 1=1^3$.

Suy ra $a^3+b^3=1-3ab.$

⦁ Ta có: $${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$$

Mà $a+b=1$ nên $$a^2+2ab+b^2=1^2$$

Suy ra $a^2+b^2=1-2ab.$

Khi đó $M=a^3+b^3+3ab\left(a^2+b^2\right)+6a^2{b}^2\left(a+b\right)$

$=1-3ab+3ab\left(1-2ab\right)+6a^2{b}^2\cdot 1$

$=1-3ab+3ab-6a^2{b}^2+6a^2{b}^2$$=1.$

Vậy $M=1.$